xy平面上に曲線$C_1: y = 2x\sqrt{1-x^2}$と$C_2: y = \sqrt{1-x^2}$がある。$C_1$上の点$P_1(t, 2t\sqrt{1-t^2})$、$C_2$上の点$P_2(t, \sqrt{1-t^2})$ ($-1 < t < 1$) におけるそれぞれの接線$l_1, m_1$について、以下の問いに答える。 (1) $C_1$と$C_2$の概形を同じxy平面上に描き、$P_1$と$P_2$が一致するときの$t$の値を求める。 (2) $l_1$と$m_1$が平行になるときの$t$が満たすべき条件を$t$の2次方程式で表し、その解$\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)を求める。 (3) $l_1$と$m_1$が交点を持つとき、その交点のy座標を$y_1$とする。 (ア) $y_1$を$t$を用いて表す。 (イ) $y_1 > 0$となる$t$の値の範囲を(2)で求めた$\alpha, \beta$を用いて表し、この範囲における$y_1$の最小値を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に曲線$C_1: y = 2x\sqrt{1-x^2}$と$C_2: y = \sqrt{1-x^2}$がある。$C_1$上の点$P_1(t, 2t\sqrt{1-t^2})$、$C_2$上の点$P_2(t, \sqrt{1-t^2})$ ($-1 < t < 1$) におけるそれぞれの接線$l_1, m_1$について、以下の問いに答える。

(1) $C_1$と$C_2$の概形を同じxy平面上に描き、$P_1$と$P_2$が一致するときの$t$の値を求める。

(2) $l_1$と$m_1$が平行になるときの$t$が満たすべき条件を$t$の2次方程式で表し、その解$\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$)を求める。

(3) $l_1$と$m_1$が交点を持つとき、その交点のy座標を$y_1$とする。

(ア) $y_1$を$t$を用いて表す。

(イ) $y_1 > 0$となる$t$の値の範囲を(2)で求めた$\alpha, \beta$を用いて表し、この範囲における$y_1$の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$C_1: y = 2x\sqrt{1-x^2}$ は、$x=0$ のとき $y=0$。$x \to 1$ のとき $y \to 0$。$x \to -1$ のとき $y \to 0$。

$C_2: y = \sqrt{1-x^2}$ は、半円 $x^2 + y^2 = 1, y \ge 0$を表す。

$P_1$と$P_2$が一致するとき、$2t\sqrt{1-t^2} = \sqrt{1-t^2}$ より、$\sqrt{1-t^2}(2t-1)=0$。 $-1<t<1$ より $t = \frac{1}{2}$

(2)

$C_1$について、$\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{1-x^2} + 2x \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = 2\sqrt{1-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2(1-x^2) - 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2-4x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

$l_1$の傾きは、$\frac{2-4t^2}{\sqrt{1-t^2}}$

$C_2$について、$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$m_1$の傾きは、$\frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}$

$l_1$と$m_1$が平行になる条件は、$\frac{2-4t^2}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}$

$2-4t^2 = -t$

$4t^2 - t - 2 = 0$

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

$\alpha = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$, $\beta = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

(3)

(ア)

$l_1: y - 2t\sqrt{1-t^2} = \frac{2-4t^2}{\sqrt{1-t^2}}(x-t)$

$m_1: y - \sqrt{1-t^2} = \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}(x-t)$

$l_1$と$m_1$の交点のy座標$y_1$を求める。

$y = 2t\sqrt{1-t^2} + \frac{2-4t^2}{\sqrt{1-t^2}}(x-t)$

$y = \sqrt{1-t^2} - \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}(x-t)$

$2t\sqrt{1-t^2} + \frac{2-4t^2}{\sqrt{1-t^2}}(x-t) = \sqrt{1-t^2} - \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}(x-t)$

$(2t-1)\sqrt{1-t^2} + (\frac{2-4t^2+t}{\sqrt{1-t^2}})(x-t) = 0$

$(2t-1)(1-t^2) + (2-4t^2+t)(x-t) = 0$

$(2-4t^2+t)(x-t) = -(2t-1)(1-t^2) = (1-2t)(1-t^2)$

$x - t = \frac{(1-2t)(1-t^2)}{2-4t^2+t}$

$x = t + \frac{(1-2t)(1-t^2)}{2-4t^2+t}$

$y_1 = \sqrt{1-t^2} - \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}(x-t) = \sqrt{1-t^2} - \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{(1-2t)(1-t^2)}{2-4t^2+t} = \sqrt{1-t^2}(1-\frac{t(1-2t)}{2-4t^2+t})=\sqrt{1-t^2}(\frac{2-4t^2+t - t+2t^2}{2-4t^2+t})=\sqrt{1-t^2}(\frac{2-2t^2}{2-4t^2+t}) = 2\sqrt{1-t^2} \cdot \frac{1-t^2}{2-4t^2+t}$

$y_1 = \frac{2(1-t^2)\sqrt{1-t^2}}{2-4t^2+t}$

(イ)

$y_1 > 0$ となるためには、$\frac{2(1-t^2)\sqrt{1-t^2}}{2-4t^2+t} > 0$

$1-t^2 > 0$ であるから、$-1 < t < 1$

$2-4t^2+t > 0$

$4t^2 - t - 2 < 0$

$\alpha < t < \beta$, $\alpha = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}, \beta = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

従って、$\frac{1-\sqrt{33}}{8} < t < \frac{1+\sqrt{33}}{8}$

$y_1 = \frac{2(1-t^2)^{3/2}}{-4t^2 + t + 2}$ を $t$ で微分する。

$y_1' = 2 \cdot \frac{\frac{3}{2}(1-t^2)^{\frac{1}{2}}(-2t)(-4t^2+t+2)-(1-t^2)^{\frac{3}{2}}(-8t+1)}{(-4t^2+t+2)^2}$

$=2(1-t^2)^{1/2}\cdot\frac{-3t(-4t^2+t+2)-(1-t^2)(-8t+1)}{(-4t^2+t+2)^2}$

$=2(1-t^2)^{1/2}\cdot\frac{12t^3-3t^2-6t-(-8t+1+8t^3-t^2)}{(-4t^2+t+2)^2}$

$=2(1-t^2)^{1/2}\cdot\frac{4t^3-2t^2+2t-1}{(-4t^2+t+2)^2}$

$=2(1-t^2)^{1/2}\cdot\frac{(2t-1)(2t^2+1)}{(-4t^2+t+2)^2}$

$y_1' = 0$ のとき $2t-1=0$より、$t=\frac{1}{2}$

$\alpha < t < \beta$ の範囲で $t=\frac{1}{2}$ は $y_1$ を最小にする。

$t = \frac{1}{2}$ を代入する。

$y_1 = \frac{2(1-\frac{1}{4})\sqrt{1-\frac{1}{4}}}{2-4(\frac{1}{4})+\frac{1}{2}} = \frac{2(\frac{3}{4})\sqrt{\frac{3}{4}}}{2-1+\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $P_1$と$P_2$が一致するとき $t = \frac{1}{2}$

(2) $4t^2 - t - 2 = 0$, $\alpha = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$, $\beta = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

(3) (ア) $y_1 = \frac{2(1-t^2)\sqrt{1-t^2}}{2-4t^2+t}$

(イ) $\frac{1-\sqrt{33}}{8} < t < \frac{1+\sqrt{33}}{8}$, $y_1$の最小値: $\frac{\sqrt{3}}{2}$