与えられた3つの広義積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x}}$ (3) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{4+x^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの広義積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x}}$

(3) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{4+x^2}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不定積分を計算します。

$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$

次に、広義積分の定義に従って計算します。

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{-x} dx = \lim_{b \to \infty} [-e^{-x}]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty} (-e^{-b} - (-e^{-0})) = \lim_{b \to \infty} (-e^{-b} + 1)$

$b \to \infty$ のとき、$e^{-b} \to 0$ なので、

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = 0 + 1 = 1$

(2)

被積分関数を整理します。

$\frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$

不定積分を計算します。

$\int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = -2x^{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C$

次に、広義積分の定義に従って計算します。

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x}} = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} x^{-\frac{3}{2}} dx = \lim_{b \to \infty} [-\frac{2}{\sqrt{x}}]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (-\frac{2}{\sqrt{b}} - (-\frac{2}{\sqrt{1}})) = \lim_{b \to \infty} (-\frac{2}{\sqrt{b}} + 2)$

$b \to \infty$ のとき、$\frac{2}{\sqrt{b}} \to 0$ なので、

$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x}} = 0 + 2 = 2$

(3)

$\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$という公式を使います。この場合、$a = 2$です。

不定積分は、

$\int \frac{dx}{4 + x^2} = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

広義積分の定義に従って計算します。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{4 + x^2} = \lim_{b \to \infty} \int_{-b}^{b} \frac{dx}{4 + x^2} = \lim_{b \to \infty} [\frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2})]_{-b}^{b} = \lim_{b \to \infty} [\frac{1}{2} \arctan(\frac{b}{2}) - \frac{1}{2} \arctan(\frac{-b}{2})] = \lim_{b \to \infty} \frac{1}{2} [\arctan(\frac{b}{2}) + \arctan(\frac{b}{2})] = \lim_{b \to \infty} \arctan(\frac{b}{2})$

$b \to \infty$ のとき、$\frac{b}{2} \to \infty$ であり、$\arctan(x) \to \frac{\pi}{2}$ なので、

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{4 + x^2} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = 1$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x\sqrt{x}} = 2$

(3) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{4+x^2} = \frac{\pi}{2}$