与えられた関数の、指定された区間における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x \quad (-2 \le x \le 4)$ (2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 \quad (-1 \le x \le 3)$ (3) $y = \sin x + \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$ (4) $y = x^2 - 4 \log x \quad (1 \le x \le e)$

1. 問題の内容

与えられた関数の、指定された区間における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x \quad (-2 \le x \le 4)$

(2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 \quad (-1 \le x \le 3)$

(3) $y = \sin x + \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$

(4) $y = x^2 - 4 \log x \quad (1 \le x \le e)$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。

* **ステップ1：導関数を計算する**

与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

* **ステップ2：臨界点を求める**

導関数が0になる点（極値の候補）を求めます。

* **ステップ3：区間の端点と臨界点での関数値を計算する**

指定された区間の端点と、ステップ2で求めた臨界点における関数の値を計算します。

* **ステップ4：最大値と最小値を決定する**

ステップ3で計算した関数値を比較し、最大の値が最大値、最小の値が最小値となります。

**(1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x \quad (-2 \le x \le 4)$**

* ステップ1：導関数

$y' = 3x^2 - 6x - 9$

* ステップ2：臨界点

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

* ステップ3：関数値の計算

$x = -2: y = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) = -8 - 12 + 18 = -2$

$x = -1: y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

$x = 3: y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$

$x = 4: y = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) = 64 - 48 - 36 = -20$

* ステップ4：最大値と最小値

最大値：5 ($x = -1$)

最小値：-27 ($x = 3$)

**(2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 \quad (-1 \le x \le 3)$**

* ステップ1：導関数

$y' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$

* ステップ2：臨界点

$5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 0$

$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$

$5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 0, 1, 3$

* ステップ3：関数値の計算

$x = -1: y = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 5(-1)^3 = -1 - 5 - 5 = -11$

$x = 0: y = 0^5 - 5(0)^4 + 5(0)^3 = 0$

$x = 1: y = 1^5 - 5(1)^4 + 5(1)^3 = 1 - 5 + 5 = 1$

$x = 3: y = 3^5 - 5(3)^4 + 5(3)^3 = 243 - 405 + 135 = -27$

* ステップ4：最大値と最小値

最大値：1 ($x = 1$)

最小値：-27 ($x = 3$)

**(3) $y = \sin x + \cos x \quad (0 \le x \le \pi)$**

* ステップ1：導関数

$y' = \cos x - \sin x$

* ステップ2：臨界点

$\cos x - \sin x = 0$

$\cos x = \sin x$

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4}$

* ステップ3：関数値の計算

$x = 0: y = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$

$x = \frac{\pi}{4}: y = \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$x = \pi: y = \sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1$

* ステップ4：最大値と最小値

最大値：$\sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{4}$)

最小値：-1 ($x = \pi$)

**(4) $y = x^2 - 4 \log x \quad (1 \le x \le e)$**

* ステップ1：導関数

$y' = 2x - \frac{4}{x}$

* ステップ2：臨界点

$2x - \frac{4}{x} = 0$

$2x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

区間$[1, e]$に含まれるのは $x = \sqrt{2}$のみです。

* ステップ3：関数値の計算

$x = 1: y = 1^2 - 4 \log 1 = 1 - 4(0) = 1$

$x = \sqrt{2}: y = (\sqrt{2})^2 - 4 \log \sqrt{2} = 2 - 4 \log 2^{1/2} = 2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \log 2 = 2 - 2 \log 2$

$x = e: y = e^2 - 4 \log e = e^2 - 4(1) = e^2 - 4$

* ステップ4：最大値と最小値

$e \approx 2.718$ なので、 $e^2 \approx 7.389$。よって $e^2 - 4 \approx 3.389$

$\log 2 \approx 0.693$ なので $2 - 2 \log 2 \approx 2 - 2(0.693) \approx 2 - 1.386 \approx 0.614$

最大値：$e^2 - 4$ ($x = e$)

最小値：$2 - 2 \log 2$ ($x = \sqrt{2}$)

3. 最終的な答え

(1) 最大値：5 ($x = -1$)、最小値：-27 ($x = 3$)

(2) 最大値：1 ($x = 1$)、最小値：-27 ($x = 3$)

(3) 最大値：$\sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{4}$)、最小値：-1 ($x = \pi$)

(4) 最大値：$e^2 - 4$ ($x = e$)、最小値：$2 - 2 \log 2$ ($x = \sqrt{2}$)