与えられた文章の空欄「あ」から「さ」に当てはまる適切な数値、数式、または言葉を答える問題です。内容は、3次関数、対数関数・逆三角関数の平均値の定理、テイラーの定理（ラグランジュの剰余項）に関する穴埋め問題です。

1. 問題の内容

与えられた文章の空欄「あ」から「さ」に当てはまる適切な数値、数式、または言葉を答える問題です。内容は、3次関数、対数関数・逆三角関数の平均値の定理、テイラーの定理（ラグランジュの剰余項）に関する穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

(1) 3次関数 $f(x) = x^3 - 4x - 2$ について

* $f(-1)$ を計算します。$f(-1) = (-1)^3 - 4(-1) - 2 = -1 + 4 - 2 = 1$

* $f(3)$ を計算します。$f(3) = (3)^3 - 4(3) - 2 = 27 - 12 - 2 = 13$

* $f(x)=0$ の最大の実数解 $\alpha$ が $n < \alpha < n+1$ を満たす整数 $n$ を求める。$f(2) = 8-8-2=-2$ であり、$f(3)=13$ なので、$2 < \alpha < 3$ である。よって $n=2$。連続関数$f(x)$に中間値の定理を適用するとわかる。

(2) 対数関数 $logx$ について

* 区間 $[1, 2]$ での平均値の定理より、$\frac{log2 - log1}{2 - 1} = \frac{1}{a}$ を満たす $1 < a < 2$ が存在する。$log1=0$ より $alog2 = 1$ となり、$1 < a < 2$ が不等式となる。

* 逆三角関数 $tan^{-1}x$ について、区間 $[0, \sqrt{3}]$ での平均値の定理より、$\frac{tan^{-1}\sqrt{3} - tan^{-1}0}{\sqrt{3} - 0} = \frac{1}{1+b^2}$ を満たす $0 < b < \sqrt{3}$ が存在する。$tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$、$tan^{-1}0=0$ なので、$\frac{\pi/3}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{1+b^2}$ より $\pi(1+b^2) = 3\sqrt{3}$ となる。

(3) テイラーの定理について

* テイラーの定理の式を完成させる。$f(a + \Delta x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (\Delta x)^k + \frac{f^{(n)}(a + \theta \Delta x)}{n!} (\Delta x)^n$

* ここで、$\theta$ は $0 < \theta < 1$ を満たす実数である。

* $\frac{f^{(n)}(a + \theta \Delta x)}{n!} (\Delta x)^n$ はラグランジュの剰余項と呼ばれる。

3. 最終的な答え

* あ: 1

* い: 13

* う: 中間値

* え: 2

* お: 1

* か: 2

* き: $3\sqrt{3}$

* く: $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$

* け: $\frac{f^{(n)}(a + \theta \Delta x)}{n!}$

* こ: 0

* さ: 1