関数 $y = \cos^2(5x+2)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^2(5x+2)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$u = 5x+2$ とおくと、$y = (\cos(u))^2$ となります。

$y$ を $u$ で微分すると、合成関数の微分公式より、

$\frac{dy}{du} = 2\cos(u) \cdot (-\sin(u)) = -2\cos(u)\sin(u)$

また、$u$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = 5$

したがって、$y$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -2\cos(u)\sin(u) \cdot 5 = -10\cos(u)\sin(u)$

ここで、$u = 5x+2$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = -10\cos(5x+2)\sin(5x+2)$

三角関数の2倍角の公式 $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -5(2\sin(5x+2)\cos(5x+2)) = -5\sin(2(5x+2)) = -5\sin(10x+4)$

3. 最終的な答え

$y' = -5\sin(10x+4)$