与えられた数学の問題は、以下の4つです。 (1) 関数 $\frac{1}{g}$ の微分を、商の微分公式の確認として、$g(x)$ と $g(x+\Delta x)$ を用いて表す。 (2) $y = \sin^2 x$ について、$u$ を適切に設定し、チェインルールを用いて $\frac{dy}{dx}$ を計算する。 (3) 放物線 $y=x^2$ の外にある点 $P(9, 8)$ に、彗星が最も接近するような、目的関数 $D$ の式を求める。 (4) 高さ $h$ に対して容積が $V = \frac{h^3}{3}$ となる容器について、高さ $h$ での断面積を計算する。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の4つです。

(1) 関数 $\frac{1}{g}$ の微分を、商の微分公式の確認として、$g(x)$ と $g(x+\Delta x)$ を用いて表す。

(2) $y = \sin^2 x$ について、$u$ を適切に設定し、チェインルールを用いて $\frac{dy}{dx}$ を計算する。

(3) 放物線 $y=x^2$ の外にある点 $P(9, 8)$ に、彗星が最も接近するような、目的関数 $D$ の式を求める。

(4) 高さ $h$ に対して容積が $V = \frac{h^3}{3}$ となる容器について、高さ $h$ での断面積を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $\frac{1}{g}$ の微分

$g(x)$ の変化量 $\Delta g$ は $g(x+\Delta x) - g(x)$ と表される。

$\Delta \left( \frac{1}{g} \right) = \frac{1}{g(x+\Delta x)} - \frac{1}{g(x)}$

$= \frac{g(x) - g(x+\Delta x)}{g(x)g(x+\Delta x)}$

$= \frac{-(g(x+\Delta x) - g(x))}{g(x)g(x+\Delta x)}$

$= \frac{-\Delta g}{g(x)g(x+\Delta x)}$

(2) $y = \sin^2 x$ の微分

$u = \sin x$ とおくと、$y = u^2$ となる。

チェインルール $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いる。

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

よって、$\frac{dy}{dx} = 2u \cos x = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$

(3) 目的関数 $D$ の式

点 $(9, 8)$ から放物線 $y = x^2$ 上の点 $(x, x^2)$ までの距離の二乗を $D$ とすると、

$D = (x - 9)^2 + (x^2 - 8)^2$

$D = x^2 - 18x + 81 + x^4 - 16x^2 + 64$

$D = x^4 - 15x^2 - 18x + 145$

(4) 容器の断面積

容積 $V$ は断面積 $A(h)$ を高さ $0$ から $h$ まで積分したものである。

$V = \int_0^h A(t) dt = \frac{h^3}{3}$

両辺を $h$ で微分すると、$A(h) = \frac{dV}{dh} = \frac{d}{dh} \left( \frac{h^3}{3} \right) = h^2$

3. 最終的な答え

(1) $\Delta \left( \frac{1}{g} \right) = \frac{-(g(x+\Delta x) - g(x))}{g(x)g(x+\Delta x)}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \sin 2x$

(3) $D = (x - 9)^2 + (x^2 - 8)^2 = x^4 - 15x^2 - 18x + 145$

(4) $A(h) = h^2$