与えられた関数 $f(x) = xe^x$ のグラフの概形を増減表に基づいて考察する問題です。特に、x=-3付近でのグラフの増減と凹凸の様子を図示し、x=-2が変曲点である理由を説明します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = xe^x$ のグラフの概形を増減表に基づいて考察する問題です。特に、x=-3付近でのグラフの増減と凹凸の様子を図示し、x=-2が変曲点である理由を説明します。

2. 解き方の手順

(1) x=-3付近でのグラフの増減と凹凸の様子を図示する。

増減表から、x<-2 のとき $f'(x)<0$, $f''(x)<0$ なので、関数は減少かつ上に凸です。x=-2のとき $f'(x)=0$, $f''(x)=0$ です。-2<x<-1 のとき $f'(x)>0$, $f''(x)>0$ なので、関数は増加かつ下に凸です。x=-1のとき $f'(x)=0$, $f''(x)>0$です。x>-1のとき $f'(x)>0$, $f''(x)>0$なので、関数は増加かつ下に凸です。

x=-3付近に限定して図示するため、$x<-2$の領域のみを考え、減少かつ上に凸なグラフを描きます。

凹凸の理由を説明するために、グラフ上に複数の接線を描き加えます。上に凸であることは、接線の傾きが減少していくことからもわかります。

(2) x=-2が変曲点である理由を選択肢から選ぶ。

変曲点とは、グラフの凹凸が変わる点です。

(A) x=-2のとき、f(x)が極値ではないから: 極値であるかどうかは変曲点の定義とは関係ありません。

(B) x=-2のとき、f'(x)の符号が負であるから: f'(x)の符号は関数の増減を表し、凹凸とは直接関係ありません。

(C) x=-2のとき、f'(x)の符号が負であり、x=-1のときf(x)が極小であるから: f'(x)の符号と極小値の存在は変曲点の直接的な理由にはなりません。

(D) f''(x)の符号がx=-2で切り替わるから: f''(x)の符号が切り替わる点は変曲点の定義と一致します。

(E) f''(x)の符号がx=-2で切り替わり、f'(x)≠0であるから: f'(x)の値は変曲点の定義には関係ありません。ただし今回の関数では x=-2 で f'(-2) = 0なので、f'(x)≠0は誤り。

3. 最終的な答え

(1) x=-3付近でのグラフの概形を図示（上に凸で減少）。グラフ上に複数の接線を描き加え、接線の傾きが減少していくことを示す。

(2) (D) f''(x)の符号がx=-2で切り替わるから。