与えられた連立微分方程式の一般解を求める問題です。二つの問題があります。 (1) $\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 4y - \cos t \\ \frac{dy}{dt} = -x + \sin t \end{cases}$ (2) $\begin{cases} \frac{dx}{dt} = x - y + t^2 \\ \frac{dy}{dt} = 2x - y + t^2 - t \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立微分方程式の一般解を求める問題です。二つの問題があります。

(1)

$\begin{cases}

\frac{dx}{dt} = 4y - \cos t \\

\frac{dy}{dt} = -x + \sin t

\end{cases}$

(2)

$\begin{cases}

\frac{dx}{dt} = x - y + t^2 \\

\frac{dy}{dt} = 2x - y + t^2 - t

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

一つ目の連立微分方程式を解きます。

$\frac{dx}{dt} = 4y - \cos t$ と $\frac{dy}{dt} = -x + \sin t$ から、$y$ を消去します。

$\frac{d^2x}{dt^2} = 4\frac{dy}{dt} + \sin t$

$\frac{d^2x}{dt^2} = 4(-x + \sin t) + \sin t$

$\frac{d^2x}{dt^2} = -4x + 5\sin t$

$\frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 5\sin t$

この2階線形非同次微分方程式を解きます。

まず、同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 0$ の一般解を求めます。

特性方程式は $\lambda^2 + 4 = 0$ であり、解は $\lambda = \pm 2i$ です。

したがって、同次方程式の一般解は $x_h(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t)$ です。

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。

$x_p(t) = A\cos t + B\sin t$ と仮定します。

$\frac{dx_p}{dt} = -A\sin t + B\cos t$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -A\cos t - B\sin t$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} + 4x_p = -A\cos t - B\sin t + 4(A\cos t + B\sin t) = 3A\cos t + 3B\sin t$

$3A\cos t + 3B\sin t = 5\sin t$

$3A = 0$ より $A = 0$

$3B = 5$ より $B = \frac{5}{3}$

したがって、$x_p(t) = \frac{5}{3}\sin t$ です。

一般解は $x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t) + \frac{5}{3}\sin t$ です。

$\frac{dx}{dt} = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \frac{5}{3}\cos t$

$4y = \frac{dx}{dt} + \cos t = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \frac{8}{3}\cos t$

$y(t) = -\frac{1}{2}C_1\sin(2t) + \frac{1}{2}C_2\cos(2t) + \frac{2}{3}\cos t$

(2)

二つ目の連立微分方程式を解きます。

$\frac{dx}{dt} = x - y + t^2$

$\frac{dy}{dt} = 2x - y + t^2 - t$

$\frac{dy}{dt} - \frac{dx}{dt} = x - t$

$\frac{d}{dt}(y-x) = x-t$

$y - x = \int (x-t) dt$

$y = x + \int (x-t) dt$

$\frac{dx}{dt} = x - (x + \int (x-t) dt) + t^2$

$\frac{dx}{dt} = - \int (x-t) dt + t^2$

$\frac{d^2x}{dt^2} = -(x-t) + 2t$

$\frac{d^2x}{dt^2} + x = 3t$

同次方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} + x = 0$ の一般解は $x_h(t) = C_1\cos t + C_2\sin t$ です。

非同次方程式の特殊解を $x_p(t) = At + B$ と仮定します。

$\frac{dx_p}{dt} = A$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 0$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} + x_p = At + B = 3t$

$A = 3, B = 0$

$x_p(t) = 3t$

$x(t) = C_1\cos t + C_2\sin t + 3t$

$\frac{dx}{dt} = -C_1\sin t + C_2\cos t + 3$

$y(t) = x - \frac{dx}{dt} + t^2$

$y(t) = C_1\cos t + C_2\sin t + 3t - (-C_1\sin t + C_2\cos t + 3) + t^2$

$y(t) = C_1\cos t + C_2\sin t + 3t + C_1\sin t - C_2\cos t - 3 + t^2$

$y(t) = (C_1-C_2)\cos t + (C_1+C_2)\sin t + t^2 + 3t - 3$

3. 最終的な答え

(1)

$x(t) = C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t) + \frac{5}{3}\sin t$

$y(t) = -\frac{1}{2}C_1\sin(2t) + \frac{1}{2}C_2\cos(2t) + \frac{2}{3}\cos t$

(2)

$x(t) = C_1\cos t + C_2\sin t + 3t$

$y(t) = (C_1-C_2)\cos t + (C_1+C_2)\sin t + t^2 + 3t - 3$