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問題は、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\tan \theta = \sqrt{3}$ という3つの三角関数の方程式を、まず $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で解き、次に $\theta$ の範囲に制限がないときの一般解を求めるというものです。

解析学三角関数三角方程式一般解周期
2025/8/3

1. 問題の内容

問題は、sin⁡θ=32\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}, tan⁡θ=3\tan \theta = \sqrt{3} という3つの三角関数の方程式を、まず 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi の範囲で解き、次に θ\theta の範囲に制限がないときの一般解を求めるというものです。

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ=32\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}
* 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi の範囲での解：
sin⁡θ=32\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} となる θ\theta は、θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} と θ=2π3\theta = \frac{2\pi}{3} です。
* θ\theta に制限がないときの解（一般解）：
sin⁡θ\sin \theta の周期は 2π2\pi なので、一般解は θ=π3+2nπ\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi と θ=2π3+2nπ\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi （nn は整数）となります。
(2) cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}
* 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi の範囲での解：
cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} となる θ\theta は、θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4} と θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4} です。
* θ\theta に制限がないときの解（一般解）：
cos⁡θ\cos \theta の周期は 2π2\pi なので、一般解は θ=3π4+2nπ\theta = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi と θ=5π4+2nπ\theta = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi （nn は整数）となります。
(3) tan⁡θ=3\tan \theta = \sqrt{3}
* 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi の範囲での解：
tan⁡θ=3\tan \theta = \sqrt{3} となる θ\theta は、θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} と θ=4π3\theta = \frac{4\pi}{3} です。
* θ\theta に制限がないときの解（一般解）：
tan⁡θ\tan \theta の周期は π\pi なので、一般解は θ=π3+nπ\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi （nn は整数）となります。

3. 最終的な答え

(1) sin⁡θ=32\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}
* 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi のとき：θ=π3,2π3\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}
* θ\theta に制限がないとき：θ=π3+2nπ,2π3+2nπ\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi, \frac{2\pi}{3} + 2n\pi （nn は整数）
(2) cos⁡θ=−12\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}
* 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi のとき：θ=3π4,5π4\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}
* θ\theta に制限がないとき：θ=3π4+2nπ,5π4+2nπ\theta = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi, \frac{5\pi}{4} + 2n\pi （nn は整数）
(3) tan⁡θ=3\tan \theta = \sqrt{3}
* 0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi のとき：θ=π3,4π3\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}
* θ\theta に制限がないとき：θ=π3+nπ\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi （nn は整数）

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