関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ を $x$ で微分します。

$y = \log x \cdot x^{-2}$ と変形してから積の微分公式を用いると、

$$y' = \frac{1}{x} \cdot x^{-2} + \log x \cdot (-2x^{-3})$$

$$y' = \frac{1}{x^3} - \frac{2\log x}{x^3}$$

$$y' = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1 - 2\log x}{x^3} = 0$ より、$1 - 2\log x = 0$ となります。

したがって、$\log x = \frac{1}{2}$ となり、$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$ が得られます。

$x > 0$ より、定義域は $x > 0$ です。$x = \sqrt{e}$ の前後で $y'$ の符号が変化するかを調べます。

- $0 < x < \sqrt{e}$ のとき、$\log x < \frac{1}{2}$ なので、$1 - 2\log x > 0$ となり、$y' > 0$ です。

- $x > \sqrt{e}$ のとき、$\log x > \frac{1}{2}$ なので、$1 - 2\log x < 0$ となり、$y' < 0$ です。

したがって、$x = \sqrt{e}$ で極大値をとることがわかります。極大値を求めます。

$y(\sqrt{e}) = \frac{\log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{e} = \frac{1}{2e}$

3. 最終的な答え

極大値: $\frac{1}{2e}$ ($x = \sqrt{e}$ のとき)

極小値: なし