$x > 0$ において、関数 $x^{\sin x}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ において、関数 $x^{\sin x}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^{\sin x}$ と置きます。両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln(x^{\sin x}) = \sin x \cdot \ln x$

となります。

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分により、

$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$

となります。右辺は積の微分により、

$\frac{d}{dx} (\sin x \cdot \ln x) = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

となります。

したがって、

$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x}$

となります。

$\frac{dy}{dx}$ について解くと、

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

となります。

$y = x^{\sin x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} x^{\sin x} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$