関数 $y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ が与えられており、$t = \sin x + \cos x$ とする。このとき、以下の問いに答える。ただし、$0 \leq x \leq \pi$ とする。 (1) $t$ の取り得る値の範囲を求めよ。 (2) $y$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ が与えられており、$t = \sin x + \cos x$ とする。このとき、以下の問いに答える。ただし、$0 \leq x \leq \pi$ とする。

(1) $t$ の取り得る値の範囲を求めよ。

(2) $y$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin x + \cos x$ を変形し、$t$ の取り得る値の範囲を求める。

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

$0 \leq x \leq \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$

したがって、$- \frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin(x + \frac{\pi}{4}) \leq 1$

$-1 \leq \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$

したがって、$t = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ の範囲は $-1 \leq t/\sqrt{2} \leq 1$. $\sin(x+\pi/4) \ge 0$ より、0 以上である。

$t$ の取り得る値の範囲は $1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(2) $y$ を $t$ の式で表し、その最小値を求める。

$y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x = \sin x \cos x (\sin x + \cos x + 1) = \sin x \cos x (t + 1)$

$t = \sin x + \cos x$ より、$t^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$

$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

よって、$y = \frac{t^2 - 1}{2} (t + 1) = \frac{1}{2} (t^3 + t^2 - t - 1)$

$y = \frac{1}{2} (t^3 + t^2 - t - 1)$ を $t$ で微分する。

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} (3t^2 + 2t - 1) = \frac{1}{2} (3t - 1) (t + 1)$

$\frac{dy}{dt} = 0$ となるのは、$t = \frac{1}{3}, -1$

ここで $t = \frac{1}{3}$ の場合、$t$ の取りうる範囲が、$1 \leq t \leq \sqrt{2}$ であるから、$t = \frac{1}{3}$ は考えない。

$t = 1$ のとき、$y = \frac{1}{2}(1 + 1 - 1 - 1) = 0$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{1}{2} (2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} - 1) = \frac{1}{2} (\sqrt{2} + 1) > 0$

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2}(3t - 1)(t+1)$ より、$1 \leq t \leq \sqrt{2}$ の範囲では $\frac{dy}{dt} > 0$ となるので、単調増加となる。

$t = 1$ のとき $x = 0, \pi/2$となり、$y=0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(2) 最小値は $0$