与えられた定積分の値を求める問題です。積分は $-1$ から $\infty$ までで、被積分関数は $\frac{1}{(1+x)^\pi}$ です。つまり、以下の積分を計算します。 $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^\pi} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求める問題です。積分は $-1$ から $\infty$ までで、被積分関数は $\frac{1}{(1+x)^\pi}$ です。つまり、以下の積分を計算します。

$\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^\pi} dx$

2. 解き方の手順

この定積分を計算するために、まず不定積分を計算します。

$u = 1+x$ と置換すると、$du = dx$ となります。また、積分区間も変更する必要があります。$x=-1$ のとき $u = 1 + (-1) = 0$ であり、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ です。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{u^\pi} du$

ここで、$\pi$ は数字のパイであると仮定します。

この積分は広義積分なので、以下のように計算します。

$\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} u^{-\pi} du$

不定積分を計算します。

$\int u^{-\pi} du = \frac{u^{-\pi + 1}}{-\pi + 1} = \frac{u^{1-\pi}}{1-\pi}$

したがって、

$\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} u^{-\pi} du = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{u^{1-\pi}}{1-\pi} \right]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{1-\pi}}{1-\pi} - \frac{0^{1-\pi}}{1-\pi} \right)$

この極限が存在するためには、$1-\pi < 0$ である必要があります。つまり、$\pi > 1$ が必要です。このとき、$b^{1-\pi}$ は $b \to \infty$ で $0$ に収束します。

また、$x = -1$ の近傍で被積分関数は発散するため、0から積分するのではなく、$\epsilon > 0$ として $\epsilon$ から$b$まで積分し、$\epsilon \to 0$ の極限を取る必要があります。つまり、

$\lim_{\epsilon \to 0} \lim_{b \to \infty} \int_{\epsilon}^{b} u^{-\pi} du = \lim_{\epsilon \to 0} \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{u^{1-\pi}}{1-\pi} \right]_{\epsilon}^{b} = \lim_{\epsilon \to 0} \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{1-\pi}}{1-\pi} - \frac{\epsilon^{1-\pi}}{1-\pi} \right)$

$\pi > 1$ のとき、$b^{1-\pi} \to 0$ as $b \to \infty$ であり、また $1 - \pi < 0$ なので、 $\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^{1-\pi} = \infty$ となり、積分は発散します。

もし $\pi = 1$ であれば、

$\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{1+x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \lim_{b \to \infty} \int_{\epsilon}^{b} \frac{1}{u} du = \lim_{\epsilon \to 0} \lim_{b \to \infty} [ \ln u ]_{\epsilon}^{b} = \lim_{\epsilon \to 0} \lim_{b \to \infty} (\ln b - \ln \epsilon) = \infty$

となり、やはり発散します。

3. 最終的な答え

積分は発散します。