(1) 領域 $D: x^2 + y^2 \leq a^2, 0 \leq y \leq x$ における2重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を極座標を用いて求める。 (2) 領域 $D: a^2 \leq x^2 + y^2 \leq b^2$ (ただし $0 < a < b$) における2重積分 $\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dxdy$ を極座標を用いて求める。

1. 問題の内容

(1) 領域 $D: x^2 + y^2 \leq a^2, 0 \leq y \leq x$ における2重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を極座標を用いて求める。

(2) 領域 $D: a^2 \leq x^2 + y^2 \leq b^2$ (ただし $0 < a < b$) における2重積分 $\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dxdy$ を極座標を用いて求める。

2. 解き方の手順

**(1)**

まず、積分領域 $D$ を極座標で表現します。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、

$x^2 + y^2 \leq a^2$ は $r^2 \leq a^2$, つまり $0 \leq r \leq a$ となります。

$y \leq x$ は $r\sin\theta \leq r\cos\theta$, つまり $\tan\theta \leq 1$ となり、$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ です。

よって、積分領域 $D$ は極座標で $0 \leq r \leq a, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ と表されます。

また、$dxdy = r\,drd\theta$ なので、

$$$$

\iint_D y\, dxdy = \int_0^{\pi/4} \int_0^a (r\sin\theta) r \, drd\theta = \int_0^{\pi/4} \int_0^a r^2\sin\theta \, drd\theta

$$$$

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$$$$

\int_0^a r^2 \, dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^a = \frac{a^3}{3}

$$$$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$$$$

\int_0^{\pi/4} \sin\theta \, d\theta = \left[-\cos\theta\right]_0^{\pi/4} = -\cos\frac{\pi}{4} + \cos 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}

$$$$

したがって、

$$$$

\iint_D y\, dxdy = \frac{a^3}{3} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{a^3(2 - \sqrt{2})}{6}

$$$$

**(2)**

領域 $D: a^2 \leq x^2 + y^2 \leq b^2$ を極座標で表します。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$x^2 + y^2 = r^2$ なので、

$a^2 \leq r^2 \leq b^2$, つまり $a \leq r \leq b$ となります。

$\theta$ に関しては特に制限がないので、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$$$$

\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_a^b \frac{1}{r^2} r \, drd\theta = \int_0^{2\pi} \int_a^b \frac{1}{r} \, drd\theta

$$$$

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$$$$

\int_a^b \frac{1}{r} \, dr = \left[\ln r\right]_a^b = \ln b - \ln a = \ln \frac{b}{a}

$$$$

次に、$\theta$ に関する積分を計算します。

$$$$

\int_0^{2\pi} d\theta = \left[\theta\right]_0^{2\pi} = 2\pi

$$$$

したがって、

$$$$

\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} \, dxdy = 2\pi \ln \frac{b}{a}

$$$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a^3(2 - \sqrt{2})}{6}$

(2) $2\pi \ln \frac{b}{a}$