与えられた積分 $\int x \cos^2 x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x \cos^2 x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 x$ を半角の公式を用いて変形します。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int x \cos^2 x \, dx = \int x \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (x + x \cos 2x) \, dx$

この積分を2つに分けます。

$\frac{1}{2} \int x \, dx + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx$

$\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

$\int x \cos 2x \, dx$ は部分積分を用いて計算します。

$u = x$, $dv = \cos 2x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$ です。

$\int x \cos 2x \, dx = x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) + C_2 = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{4} x \sin 2x + \frac{1}{8} \cos 2x + \frac{1}{2} C_2$

元の積分は

$\frac{1}{2} \int x \, dx + \frac{1}{2} \int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4} x \sin 2x + \frac{1}{8} \cos 2x + C$

$= \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4} x \sin 2x + \frac{1}{8} \cos 2x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{4} + \frac{1}{4} x \sin 2x + \frac{1}{8} \cos 2x + C$