関数 $f(x) = \frac{1}{2}(\sin x - \sqrt{3} \cos x)^2 - 1$ について、以下の問題を解きます。 (1) $\sin x - \sqrt{3} \cos x$ を $r \sin(x - \alpha)$ の形に変形し、$f(x)$ を $\cos$ の式で表します。 (2) (i) $y = f(x)$ の周期を求め、グラフが $y = \cos$ のグラフを平行移動したものであるときの移動量を求めます。 (ii) $y = f(x)$ のグラフとして適切なものを、選択肢から選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{2}(\sin x - \sqrt{3} \cos x)^2 - 1$ について、以下の問題を解きます。

(1) $\sin x - \sqrt{3} \cos x$ を $r \sin(x - \alpha)$ の形に変形し、$f(x)$ を $\cos$ の式で表します。

(2) (i) $y = f(x)$ の周期を求め、グラフが $y = \cos$ のグラフを平行移動したものであるときの移動量を求めます。

(ii) $y = f(x)$ のグラフとして適切なものを、選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3}) = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$

よって、アは2、イは$\frac{\pi}{3}$。

$f(x) = \frac{1}{2}(2\sin(x - \frac{\pi}{3}))^2 - 1 = 2\sin^2(x - \frac{\pi}{3}) - 1 = -\cos(2(x - \frac{\pi}{3})) = -\cos(2x - \frac{2\pi}{3})$

よって、ウは2、エは-1、オは2、カは2、キは3。

(2) (i)

$f(x) = -\cos(2x - \frac{2\pi}{3})$ の周期は、$\cos(2x)$ の周期 $\frac{2\pi}{2} = \pi$ と同じなので、クは$\pi$。

$f(x) = -\cos(2(x - \frac{\pi}{3}))$ は、$y = -\cos(2x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{\pi}{3}$ だけ平行移動したものであるので、ケは$\frac{\pi}{3}$。

(ii)

$f(x) = -\cos(2x - \frac{2\pi}{3})$ のグラフは、$y=-\cos(2(x-\frac{\pi}{3}))$より、$y=-\cos(2x)$のグラフをx軸方向に$\frac{\pi}{3}$だけ平行移動したグラフである。

$y=-\cos(2x)$は$y=\cos x$をy軸に関して反転し、x軸方向に$\frac{1}{2}$倍縮小したものである。

グラフは$x=0$で$f(0) = -\cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3}) = - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$なので、実線グラフが点(0, 1/2)を通るグラフを探す。

また、$x=\frac{\pi}{3}$で極値をとるので、コは0。

3. 最終的な答え

ア: 2, イ: $\frac{\pi}{3}$, ウ: 2, エ: -1, オ: 2, カ: 2, キ: 3

ク: $\pi$, ケ: $\frac{\pi}{3}$, コ: 0