以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x}\right)$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x}\right)$

2. 解き方の手順

まず、式を通分します。

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x - (e^x - 1)}{(e^x - 1)\sin x}\right)$

ここで、分子と分母の両方が $x\to 0$ で0に近づくため、ロピタルの定理を使います。

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx}(\sin x - e^x + 1) = \cos x - e^x$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx}((e^x - 1)\sin x) = e^x \sin x + (e^x - 1)\cos x$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos x - e^x}{e^x \sin x + (e^x - 1)\cos x}\right)$

再び、分子と分母の両方が $x\to 0$ で0に近づくため、ロピタルの定理を使います。

分子を微分すると、

$\frac{d}{dx}(\cos x - e^x) = -\sin x - e^x$

分母を微分すると、

$\frac{d}{dx}(e^x \sin x + (e^x - 1)\cos x) = e^x \sin x + e^x \cos x + e^x \cos x - (e^x - 1)\sin x = e^x \sin x + 2e^x \cos x - e^x \sin x + \sin x = 2e^x \cos x + \sin x$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{-\sin x - e^x}{2e^x \cos x + \sin x}\right)$

ここで、$x \to 0$とすると、$\sin x \to 0$, $\cos x \to 1$, $e^x \to 1$ であるので、

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{-\sin x - e^x}{2e^x \cos x + \sin x}\right) = \frac{-0 - 1}{2(1)(1) + 0} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

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