(1) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} dx$ (3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^4} dx$

1. 問題の内容

(1) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} dx$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^4} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} dx$ について

被積分関数 $f(x) = \frac{1}{x^3}$ は $x=0$ で定義されないため、広義積分として計算する必要があります。

$f(x)$ は奇関数なので、

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{x^3} dx + \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^3} dx$

$= \lim_{\epsilon \to +0} \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{-1}^{-\epsilon} + \lim_{\epsilon \to +0} \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{\epsilon}^{1}$

$= \lim_{\epsilon \to +0} \left(-\frac{1}{2\epsilon^2} + \frac{1}{2}\right) + \lim_{\epsilon \to +0} \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2\epsilon^2}\right)$

$= \lim_{\epsilon \to +0} \left(-\frac{1}{2\epsilon^2} + \frac{1}{2} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2\epsilon^2}\right)$

$= \lim_{\epsilon \to +0} 0$

$= 0$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^4} dx$ について

これは広義積分なので、

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^4} dx = \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} \frac{1}{(1+x)^4} dx$

ここで、$u = 1+x$ と置換すると、$du = dx$ であり、$x=0$ のとき $u=1$、$x=R$ のとき $u=1+R$ となります。

$\int_{0}^{R} \frac{1}{(1+x)^4} dx = \int_{1}^{1+R} \frac{1}{u^4} du = \int_{1}^{1+R} u^{-4} du$

$= \left[ \frac{u^{-3}}{-3} \right]_{1}^{1+R} = \left[ -\frac{1}{3u^3} \right]_{1}^{1+R}$

$= -\frac{1}{3(1+R)^3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3(1+R)^3} + \frac{1}{3}$

したがって、

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^4} dx = \lim_{R \to \infty} \left(-\frac{1}{3(1+R)^3} + \frac{1}{3}\right) = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(3) 1/3