(1) 領域 $D: x^2 + y^2 \le a^2, 0 \le y \le x$ において、二重積分 $\iint_D y dxdy$ を極座標を用いて求めよ。 (2) 領域 $D: a^2 \le x^2 + y^2 \le b^2$ ($0 < a < b$) において、二重積分 $\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} dxdy$ を極座標を用いて求めよ。

1. 問題の内容

(1) 領域 $D: x^2 + y^2 \le a^2, 0 \le y \le x$ において、二重積分 $\iint_D y dxdy$ を極座標を用いて求めよ。

(2) 領域 $D: a^2 \le x^2 + y^2 \le b^2$ ($0 < a < b$) において、二重積分 $\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} dxdy$ を極座標を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行う。積分領域 $D$ は $x^2+y^2 \le a^2$ より $r^2 \le a^2$、つまり $0 \le r \le a$ となる。また、$0 \le y \le x$ より $0 \le r\sin\theta \le r\cos\theta$ なので、$0 \le \sin\theta \le \cos\theta$ となり、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ となる。

よって、

$\iint_D y dxdy = \int_0^{\pi/4} \int_0^a (r\sin\theta)r dr d\theta = \int_0^{\pi/4} \sin\theta d\theta \int_0^a r^2 dr = [-\cos\theta]_0^{\pi/4} [\frac{1}{3}r^3]_0^a = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)(\frac{a^3}{3}) = \frac{a^3}{3}(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{a^3(2 - \sqrt{2})}{6}$

(2) 極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行う。積分領域 $D$ は $a^2 \le x^2+y^2 \le b^2$ より $a^2 \le r^2 \le b^2$、つまり $a \le r \le b$ となる。$\theta$ の範囲は、$x^2+y^2=a^2$ と $x^2+y^2=b^2$ は原点中心の円なので、領域全体を覆うために $0 \le \theta \le 2\pi$ となる。

よって、

$\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} dxdy = \int_0^{2\pi} \int_a^b \frac{1}{r^2} r dr d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_a^b \frac{1}{r} dr = [\theta]_0^{2\pi} [\ln r]_a^b = 2\pi (\ln b - \ln a) = 2\pi \ln \frac{b}{a}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a^3(2 - \sqrt{2})}{6}$

(2) $2\pi \ln \frac{b}{a}$