曲面 $z = \sqrt{1-x^2-y^2}$ の、点 $(a, b, c)$ における接平面と法線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

曲面 $z = \sqrt{1-x^2-y^2}$ の、点 $(a, b, c)$ における接平面と法線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$ とおく。

このとき、曲面上の点は $(a, b, c)$ なので、$a^2 + b^2 + c^2 = 1$ が成り立つ。

次に、勾配ベクトルを求める。

$\nabla f = (f_x, f_y, f_z) = (2x, 2y, 2z)$

点 $(a, b, c)$ における勾配ベクトルは $(2a, 2b, 2c)$ となる。

これは、接平面の法線ベクトルを表す。

接平面の方程式は、法線ベクトルと点 $(a, b, c)$ を用いて、

$2a(x - a) + 2b(y - b) + 2c(z - c) = 0$

$a(x - a) + b(y - b) + c(z - c) = 0$

$ax - a^2 + by - b^2 + cz - c^2 = 0$

$ax + by + cz = a^2 + b^2 + c^2$

$ax + by + cz = 1$

法線の方程式は、

$\frac{x - a}{2a} = \frac{y - b}{2b} = \frac{z - c}{2c}$

$\frac{x - a}{a} = \frac{y - b}{b} = \frac{z - c}{c}$

3. 最終的な答え

接平面の方程式: $ax + by + cz = 1$

法線の方程式: $\frac{x - a}{a} = \frac{y - b}{b} = \frac{z - c}{c}$