関数 $f(x) = \arctan(x)$ (または $\tan^{-1}(x)$) の3次の項までのマクローリン展開を求める問題です。剰余項 $R_4$ は求めなくてよいと指示されています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arctan(x)$ (または $\tan^{-1}(x)$) の3次の項までのマクローリン展開を求める問題です。剰余項 $R_4$ は求めなくてよいと指示されています。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。つまり、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

となります。今回は3次の項までを求めるので、3階微分まで計算します。

* $f(x) = \arctan(x)$

$f(0) = \arctan(0) = 0$

* $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$f'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$

* $f''(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$f''(0) = \frac{-2(0)}{(1+0^2)^2} = 0$

* $f'''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 - (-2x) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{-2(1+x^2)^2 + 8x^2(1+x^2)}{(1+x^2)^4} = \frac{-2(1+x^2) + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{-2 -2x^2 + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$

$f'''(0) = \frac{6(0)^2 - 2}{(1+0^2)^3} = -2$

したがって、マクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

$\arctan(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2}x^2 + \frac{-2}{6}x^3 + \cdots = x - \frac{1}{3}x^3 + \cdots$

3. 最終的な答え

$\arctan(x) \approx x - \frac{x^3}{3}$