関数 $f(x,y)$ が与えられています。 $f(x,y) = \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$ for $(x,y) \neq (0,0)$ $f(x,y) = 0$ for $(x,y) = (0,0)$ この関数が原点 $(0,0)$ で連続かどうかを調べます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が与えられています。

$f(x,y) = \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$ for $(x,y) \neq (0,0)$

$f(x,y) = 0$ for $(x,y) = (0,0)$

この関数が原点 $(0,0)$ で連続かどうかを調べます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x,y)$ が原点で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

(1) $f(0,0)$ が定義されている。

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ が存在する。

(3) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)$

まず、$f(0,0) = 0$ であることは定義より明らかです。

次に、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$ が存在するかどうかを調べます。

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ と極座標変換すると、

$\frac{xy^3}{x^2 + y^4} = \frac{r \cos \theta (r \sin \theta)^3}{(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^4} = \frac{r^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \frac{r^2 \cos \theta \sin^3 \theta}{\cos^2 \theta + r^2 \sin^4 \theta}$

ここで、 $x=y^2$ に沿って $(0,0)$ に近づく場合を考えます。つまり、$x = y^2$ とおくと、

$\frac{xy^3}{x^2 + y^4} = \frac{y^2 y^3}{(y^2)^2 + y^4} = \frac{y^5}{y^4 + y^4} = \frac{y^5}{2y^4} = \frac{y}{2}$

したがって、$\lim_{y \to 0} \frac{y}{2} = 0$

次に、$x=0$ に沿って $(0,0)$ に近づく場合を考えます。

$\lim_{y \to 0} \frac{0 \cdot y^3}{0 + y^4} = \lim_{y \to 0} 0 = 0$

$y=0$ に沿って $(0,0)$ に近づく場合を考えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 0^3}{x^2 + 0^4} = \lim_{x \to 0} 0 = 0$

$x = y^2 \cos \alpha$ ($x=y^2$に沿って近づく場合に似た道筋)

$\frac{xy^3}{x^2+y^4}=\frac{y^2 \cos \alpha \cdot y^3}{(y^2 \cos \alpha)^2+y^4}=\frac{\cos \alpha \cdot y^5}{y^4(\cos^2 \alpha+y^2)} = y \frac{\cos \alpha}{\cos^2 \alpha + y^2}$

$\lim_{y \to 0} y \frac{\cos \alpha}{\cos^2 \alpha + y^2}=0$.

異なる経路で近づいても、極限値は 0 になることが予想されます。

$\left| \frac{xy^3}{x^2 + y^4} \right| = \left| \frac{x}{x^2 + y^4} \right| |y^3| \le \left| \frac{x}{x^2} \right| |y^3| = \left|\frac{1}{x}\right| |y^3|$ では評価できないので、評価を工夫する。

$x^2 + y^4 \ge 2|x|y^2$ であることを利用します。

$|f(x,y)| = |\frac{xy^3}{x^2 + y^4}| \le |\frac{xy^3}{2|x|y^2}| = |\frac{y}{2} y| = \frac{y^2}{2}$

したがって、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} |f(x,y)| \le \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{y^2}{2} = 0$

したがって、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$ となり、原点で連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x,y)$ は原点 $(0,0)$ で連続である。