(1) 領域 $D: x^2 + y^2 \le a^2, 0 \le y \le x$ において、二重積分 $\iint_D y dxdy$ を計算する。ただし、$a > 0$。 (2) 領域 $D: a^2 \le x^2 + y^2 \le b^2$ において、二重積分 $\iint_D \frac{1}{x^2+y^2} dxdy$ を計算する。ただし、$0 < a < b$。

1. 問題の内容

(1) 領域 $D: x^2 + y^2 \le a^2, 0 \le y \le x$ において、二重積分 $\iint_D y dxdy$ を計算する。ただし、$a > 0$。

(2) 領域 $D: a^2 \le x^2 + y^2 \le b^2$ において、二重積分 $\iint_D \frac{1}{x^2+y^2} dxdy$ を計算する。ただし、$0 < a < b$。

2. 解き方の手順

(1) 極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いる。

領域Dは、$x^2+y^2 \le a^2$ より $r^2 \le a^2$ なので、$0 \le r \le a$。

$0 \le y \le x$ より、$0 \le r\sin\theta \le r\cos\theta$。$r>0$ なので、$0 \le \sin\theta \le \cos\theta$。これは、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ を意味する。

ヤコビアンは $r$ であるから、積分は

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\iint_D y dxdy = \int_0^{\pi/4} \int_0^a r\sin\theta \cdot r dr d\theta = \int_0^{\pi/4} \sin\theta d\theta \int_0^a r^2 dr

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= [-\cos\theta]_0^{\pi/4} \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^a = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1)\right) \frac{a^3}{3} = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \frac{a^3}{3} = \frac{2-\sqrt{2}}{6} a^3

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(2) 極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いる。

領域Dは、$a^2 \le x^2+y^2 \le b^2$ より、$a^2 \le r^2 \le b^2$ なので、$a \le r \le b$。

領域は円環なので、$\theta$ は $0 \le \theta \le 2\pi$。

ヤコビアンは $r$ であるから、積分は

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\iint_D \frac{1}{x^2+y^2} dxdy = \int_0^{2\pi} \int_a^b \frac{1}{r^2} r dr d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_a^b \frac{1}{r} dr

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= [\theta]_0^{2\pi} [\ln r]_a^b = 2\pi (\ln b - \ln a) = 2\pi \ln\left(\frac{b}{a}\right)

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{2-\sqrt{2}}{6} a^3$

(2) $2\pi \ln\left(\frac{b}{a}\right)$