与えられた2つの極限の値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\log(1+2x)}$ (2) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x})$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限の値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\log(1+2x)}$

(2) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x})$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\log(1+2x)}$ を計算します。

$\tan 3x \approx 3x$ および $\log(1+2x) \approx 2x$ (for $x \approx 0$) であることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\log(1+2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x})$ を計算します。

まず、式を整理します。

$\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - (e^x - 1)}{(e^x - 1)\sin x}$

$e^x$ と $\sin x$ のテイラー展開を利用します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\sin x - (e^x - 1) = (x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) - (x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

$(e^x - 1)\sin x = (x + \frac{x^2}{2} + O(x^3))(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) = x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - (e^x - 1)}{(e^x - 1)\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + O(x^4)}{x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + O(x^2)}{1 + \frac{x}{2} + O(x^2)} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $-\frac{1}{2}$