与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} dx$ (3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^4} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} dx$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^4} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} dx$

この積分は$x=0$で被積分関数が定義されていないため、特異積分です。積分を次のように分割します。

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^3} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^3} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{a \to 0^-} \int_{-1}^{a} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{a \to 0^-} [-\frac{1}{2x^2}]_{-1}^{a} = \lim_{a \to 0^-} (-\frac{1}{2a^2} + \frac{1}{2})$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{b \to 0^+} \int_{b}^{1} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{b \to 0^+} [-\frac{1}{2x^2}]_{b}^{1} = \lim_{b \to 0^+} (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2b^2})$

$\lim_{a \to 0^-} (-\frac{1}{2a^2} + \frac{1}{2}) = -\infty$

$\lim_{b \to 0^+} (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2b^2}) = \infty$

したがって、この積分は発散します。ただし、コーシーの主値は計算できます。

$PV \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^3} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} (\int_{-1}^{-\epsilon} \frac{1}{x^3} dx + \int_{\epsilon}^{1} \frac{1}{x^3} dx)$

$= \lim_{\epsilon \to 0^+} ([-\frac{1}{2x^2}]_{-1}^{-\epsilon} + [-\frac{1}{2x^2}]_{\epsilon}^{1}) = \lim_{\epsilon \to 0^+} (-\frac{1}{2\epsilon^2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2\epsilon^2}) = 0$

(3) $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^4} dx$

この積分は広義積分です。

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x)^4} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{(1+x)^4} dx$

$u = 1+x$と置換すると、$du = dx$となり、$x=0$のとき$u=1$、$x=t$のとき$u=1+t$です。

$\int_{0}^{t} \frac{1}{(1+x)^4} dx = \int_{1}^{1+t} \frac{1}{u^4} du = \int_{1}^{1+t} u^{-4} du = [-\frac{1}{3} u^{-3}]_{1}^{1+t} = [-\frac{1}{3(1+x)^3}]_{0}^{t} = -\frac{1}{3(1+t)^3} - (-\frac{1}{3(1+0)^3}) = -\frac{1}{3(1+t)^3} + \frac{1}{3}$

$\lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{3(1+t)^3} + \frac{1}{3}) = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 発散する (コーシーの主値は0)

(3) $\frac{1}{3}$