与えられた関数 $y = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ の導関数 $dy/dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ の導関数 $dy/dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。商の微分公式は以下の通りである。

$\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

ここで、

$u = 1 - \sqrt{x}$

$v = 1 + \sqrt{x}$

それぞれの導関数を計算する。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 - \sqrt{x}) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + \sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

商の微分公式に代入する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \sqrt{x})\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) - (1 - \sqrt{x})\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(1 + \sqrt{x})^2}$

分子を整理する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2}}{(1 + \sqrt{x})^2} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}}}{(1 + \sqrt{x})^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})^2}$