関数 $y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$ のグラフの概形を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$ のグラフの概形を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、この関数について、いくつかの重要な性質を調べます。

(1) 定義域：

分母が0にならないように、$x \neq 2$ です。

(2) 漸近線：

垂直漸近線は $x=2$ です。

斜め漸近線を求めるために、分子を分母で割ります。

$$$$

\frac{x^2 - 3}{x - 2} = x + 2 + \frac{1}{x - 2}

$$$$

したがって、$x \rightarrow \pm \infty$ のとき、$\frac{1}{x-2} \rightarrow 0$ なので、斜め漸近線は $y = x + 2$ です。

(3) 増減：

導関数を計算します。

$$$$

y' = \frac{(2x)(x - 2) - (x^2 - 3)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 3}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2}

$$$$

$y' = 0$ となるのは、$x = 1$ または $x = 3$ のときです。

増減表を作ります。

| x | ... | 1 | ... | 2 | ... | 3 | ... |

|------|-----|----|-----|----|-----|----|-----|

| y' | + | 0 | - | x | - | 0 | + |

| y | / | 4 | \ | x | \ | 6 | / |

$x = 1$ のとき、$y = \frac{1 - 3}{1 - 2} = \frac{-2}{-1} = 2$。

$x = 3$ のとき、$y = \frac{9 - 3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6$。

(4) グラフの概形：

以上の情報をもとにグラフの概形を描きます。垂直漸近線 $x = 2$、斜め漸近線 $y = x + 2$、極大値 $(1, 2)$、極小値 $(3, 6)$ に注意してグラフを描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形は、垂直漸近線 $x=2$、斜め漸近線 $y=x+2$ を持ち、点 $(1,2)$ で極大、点 $(3,6)$ で極小となるようなグラフになります。グラフは省略します。