(1) 領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le y \le x, 0 \le x \le 1\}$ において、2重積分 $\iint_D (1+x) \, dxdy$ を計算します。 (2) 領域 $D = \{(x, y) \mid x^2 \le y \le x\}$ において、2重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

(1) 領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le y \le x, 0 \le x \le 1\}$ において、2重積分 $\iint_D (1+x) \, dxdy$ を計算します。

(2) 領域 $D = \{(x, y) \mid x^2 \le y \le x\}$ において、2重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 2重積分 $\iint_D (1+x) \, dxdy$ の計算

領域Dは$0 \le x \le 1$, $0 \le y \le x$で定義されています。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (1+x) \, dy \, dx$

まず、$y$ について積分します。

$\int_{0}^{1} [(1+x)y]_{0}^{x} \, dx = \int_{0}^{1} (1+x)x \, dx = \int_{0}^{1} (x+x^2) \, dx$

次に、$x$ について積分します。

$\int_{0}^{1} (x+x^2) \, dx = [\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

(2) 2重積分 $\iint_D y \, dxdy$ の計算

領域Dは$x^2 \le y \le x$ で定義されています。$x$の積分範囲を求めるために、$x^2=x$ を解くと、$x(x-1) = 0$ となり、$x=0, 1$です。したがって積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} y \, dy \, dx$

まず、$y$ について積分します。

$\int_{0}^{1} [\frac{1}{2}y^2]_{x^2}^{x} \, dx = \int_{0}^{1} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^4) \, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \, dx$

次に、$x$ について積分します。

$\frac{1}{2}\int_{0}^{1} (x^2 - x^4) \, dx = \frac{1}{2}[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{1}{2}(\frac{5-3}{15}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{6}$

(2) $\frac{1}{15}$