定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ において、$\sin x - \cos x$ の符号を調べます。

$\sin x - \cos x = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{4}$ のときです。

$0 \le x < \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin x < \cos x$ なので $\sin x - \cos x < 0$。

$\frac{\pi}{4} < x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x > \cos x$ なので $\sin x - \cos x > 0$。

したがって、積分を区間 $[0, \frac{\pi}{4}]$ と $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ に分割する必要があります。

$|\sin x - \cos x| = \begin{cases} \cos x - \sin x & (0 \le x \le \frac{\pi}{4}) \\ \sin x - \cos x & (\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}) \end{cases}$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx$

$\int (\cos x - \sin x) dx = \sin x + \cos x + C$

$\int (\sin x - \cos x) dx = -\cos x - \sin x + C$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 + \sqrt{2}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| dx = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - 2$