関数 $y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$ のグラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 関数の定義域を求めます。分母が0にならないように、$x \neq 2$ である必要があります。

(2) 関数の漸近線を求めます。

まず、$y = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$ を割り算すると、$y = x + 2 + \frac{1}{x - 2}$ となります。

したがって、斜めの漸近線は $y = x + 2$ であり、垂直な漸近線は $x = 2$ です。

(3) 関数の増減を調べます。

$y' = 1 - \frac{1}{(x-2)^2}$ となります。

$y' = 0$ となる $x$ は、 $(x-2)^2 = 1$ より、$x - 2 = \pm 1$、つまり、$x = 1, 3$ です。

(4) 関数の増減表を作成します。

$x$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ | $3$ | $\cdots$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$y'$ | $+$ | $0$ | $-$ | $\times$ | $-$ | $0$ | $+$

$y$ | $\nearrow$ | $-4$ | $\searrow$ | $\times$ | $\searrow$ | $6$ | $\nearrow$

(5) 関数のグラフを描きます。

漸近線 $y = x+2$ および $x=2$ を考慮し、増減表から極値（$x=1$ で極大値 $-4$、$x=3$ で極小値 $6$）を持つことを考慮してグラフを描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形は、以下のようになります。

- $x=2$ に垂直な漸近線を持つ

- $y=x+2$ に漸近する

- $(1, -4)$ で極大となる

- $(3, 6)$ で極小となる