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$z = x^3 + xy + y^3$ の全微分を求めよ。

解析学全微分偏微分多変数関数
2025/8/4

1. 問題の内容

z=x3+xy+y3z = x^3 + xy + y^3 の全微分を求めよ。

2. 解き方の手順

全微分は、各変数に関する偏微分を計算し、それぞれの変数に関する微小変化を掛けて足し合わせることで求められます。
まず、zz の xx に関する偏微分を計算します。
∂z∂x=3x2+y\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + y
次に、zz の yy に関する偏微分を計算します。
∂z∂y=x+3y2\frac{\partial z}{\partial y} = x + 3y^2
したがって、全微分 dzdz は次のようになります。
dz=∂z∂xdx+∂z∂ydydz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
dz=(3x2+y)dx+(x+3y2)dydz = (3x^2 + y) dx + (x + 3y^2) dy

3. 最終的な答え

dz=(3x2+y)dx+(x+3y2)dydz = (3x^2 + y) dx + (x + 3y^2) dy

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