与えられた問題は、二変数関数 $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、二変数関数 $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限が存在するかどうかを調べるために、様々な経路に沿って $(0, 0)$ に近づけてみます。

まず、 $y = 0$ に沿って近づけてみます。このとき、 $f(x, 0) = \frac{x \cdot 0^2}{x^2 + 0^4} = \frac{0}{x^2} = 0$ ($x \neq 0$)となります。したがって、この経路に沿って $(x, y) \to (0, 0)$ とすると、極限は0です。

次に、$x = y^2$ に沿って近づけてみます。このとき、 $f(y^2, y) = \frac{y^2 \cdot y^2}{(y^2)^2 + y^4} = \frac{y^4}{y^4 + y^4} = \frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2}$ ($y \neq 0$)となります。したがって、この経路に沿って $(x, y) \to (0, 0)$ とすると、極限は$\frac{1}{2}$です。

極限が異なる経路によって異なる値を取るため、二重極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。