与えられた問題は、次の定積分の値を求めることです。 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 9}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の定積分の値を求めることです。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 9}$

2. 解き方の手順

この積分は、逆正接関数（arctan）の積分形を利用して解くことができます。

まず、積分を次のように書き換えます。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 9} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 3^2}$

ここで、$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$という積分公式を利用します。

この公式を用いると、

$\int \frac{dx}{x^2 + 3^2} = \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3})$となります。

したがって、

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 9} = \frac{1}{3} \left[ \arctan(\frac{x}{3}) \right]_{-\infty}^{\infty}$

$\lim_{x \to \infty} \arctan(\frac{x}{3}) = \frac{\pi}{2}$

$\lim_{x \to -\infty} \arctan(\frac{x}{3}) = -\frac{\pi}{2}$

したがって、

$\frac{1}{3} \left[ \arctan(\frac{x}{3}) \right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{3} (\pi) = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$