関数 $y = \sin^2x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ について、$t = \sin x + \cos x$ とおく。ただし、$0 \le x \le \pi$ とする。 (1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) $y$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ について、$t = \sin x + \cos x$ とおく。ただし、$0 \le x \le \pi$ とする。

(1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $y$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin x + \cos x$ のとり得る値の範囲を求める。

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

したがって、$- \frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$-1 \le \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$

(2) $y$ を $t$ の式で表し、最小値を求める。

$y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x = \sin x \cos x (\sin x + \cos x + 1)$

$t = \sin x + \cos x$ より、$t^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$

$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

よって、$y = \frac{t^2 - 1}{2} (t + 1) = \frac{1}{2} (t^3 + t^2 - t - 1)$

$y = \frac{1}{2} (t + 1) (t^2 - 1) = \frac{1}{2} (t+1)^2 (t-1)$

$y' = \frac{1}{2} (3t^2 + 2t - 1) = \frac{1}{2} (3t-1) (t+1)$

$y' = 0$ とすると、$t = -1, \frac{1}{3}$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$ における $y$ の増減表は次のようになる。

| t | -1 | | 1/3 | | sqrt(2) |

|------|------|------|-------|------|---------|

| y' | 0 | - | 0 | + | |

| y | 0 | ↓ | -8/27 | ↑ | |

$t = \sqrt{2}$ のとき、 $y = \frac{1}{2} (\sqrt{2}^3 + \sqrt{2}^2 - \sqrt{2} - 1) = \frac{1}{2} (2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} - 1) = \frac{1}{2} (\sqrt{2} + 1)$

したがって、$y$ の最小値は $t = \frac{1}{3}$ のとき、 $-\frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \le t \le \sqrt{2}$

(2) $-\frac{8}{27}$