与えられた3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x+4x^2}-\sqrt{1-x-x^2}}{x-3x^2}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(3x)}{x^2}$ (3) $\lim_{x \to \infty} (1-\frac{2}{x})^{3x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x+4x^2}-\sqrt{1-x-x^2}}{x-3x^2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(3x)}{x^2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1-\frac{2}{x})^{3x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x+4x^2}-\sqrt{1-x-x^2}}{x-3x^2}$

分子を有理化します。

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+2x+4x^2}-\sqrt{1-x-x^2})(\sqrt{1+2x+4x^2}+\sqrt{1-x-x^2})}{(x-3x^2)(\sqrt{1+2x+4x^2}+\sqrt{1-x-x^2})}$

$=\lim_{x \to 0} \frac{(1+2x+4x^2)-(1-x-x^2)}{(x-3x^2)(\sqrt{1+2x+4x^2}+\sqrt{1-x-x^2})}$

$=\lim_{x \to 0} \frac{3x+5x^2}{x(1-3x)(\sqrt{1+2x+4x^2}+\sqrt{1-x-x^2})}$

$=\lim_{x \to 0} \frac{3+5x}{(1-3x)(\sqrt{1+2x+4x^2}+\sqrt{1-x-x^2})}$

$x \to 0$のとき、

$\frac{3}{(1)(\sqrt{1}+\sqrt{1})} = \frac{3}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(3x)}{x^2}$

$1-\cos(3x) = 2\sin^2(\frac{3x}{2})$であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{3x}{2})}{x^2} = 2\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{3x}{2})}{x^2}$

$=2\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{3x}{2})}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{3x}{2})}{x}$

$=2\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{3x}{2})}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin(\frac{3x}{2})}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2}$

$=2\cdot 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1-\frac{2}{x})^{3x}$

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{a}{x})^x = e^a$を利用します。

$\lim_{x \to \infty} (1-\frac{2}{x})^{3x} = \lim_{x \to \infty} ((1+\frac{-2}{x})^x)^3$

$= (e^{-2})^3 = e^{-6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\frac{9}{2}$

(3) $e^{-6}$