以下の5つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$ (2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$ (4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$ (5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

1. 問題の内容

以下の5つの定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$なので、不定積分は$\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$となります。

定積分は以下のように計算できます。

$\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9} = \frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(27) - \frac{2}{3}(1) = 18 - \frac{2}{3} = \frac{54-2}{3} = \frac{52}{3}$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

$t = x-2$とおくと、$x = t+2$、$x+1 = t+3$、$dx = dt$。積分範囲は$x=2$のとき$t=0$、$x=4$のとき$t=2$となります。

$\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx = \int_{0}^{2} (t+3)t^4 dt = \int_{0}^{2} (t^5+3t^4) dt = \left[ \frac{t^6}{6} + \frac{3t^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{2^6}{6} + \frac{3(2^5)}{5} = \frac{64}{6} + \frac{96}{5} = \frac{32}{3} + \frac{96}{5} = \frac{160+288}{15} = \frac{448}{15}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3\cos 2x) dx = \left[ 3x - \frac{3}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(3\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{3}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (0 - 0) = \frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

不定積分は$3e^{2x}$なので、

$\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx = \left[ 3e^{2x} \right]_{0}^{\log 3} = 3e^{2\log 3} - 3e^{0} = 3e^{\log 3^2} - 3 = 3e^{\log 9} - 3 = 3(9) - 3 = 27 - 3 = 24$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

部分積分を行います。$u = x, dv = e^{-3x} dx$とすると、$du = dx, v = -\frac{1}{3}e^{-3x}$。

$\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx = \left[ -\frac{1}{3}xe^{-3x} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} -\frac{1}{3}e^{-3x} dx = \left[ -\frac{1}{3}xe^{-3x} \right]_{0}^{1} + \frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{-3x} dx = \left[ -\frac{1}{3}xe^{-3x} \right]_{0}^{1} + \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{3}e^{-3x} \right]_{0}^{1} = \left[ -\frac{1}{3}xe^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{3}e^{-3} - \frac{1}{9}e^{-3} \right) - \left(0 - \frac{1}{9}\right) = -\frac{4}{9}e^{-3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9} - \frac{4}{9e^3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{52}{3}$

(2) $\frac{448}{15}$

(3) $\frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

(4) $24$

(5) $\frac{1}{9} - \frac{4}{9e^3}$