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$\sin \theta - \sqrt{3}\cos \theta$ の最大値と最小値を、$-\pi \le \theta \le \pi$ の範囲で求める。

解析学三角関数の合成最大値最小値三角関数
2025/8/4

1. 問題の内容

sin⁡θ−3cos⁡θ\sin \theta - \sqrt{3}\cos \theta の最大値と最小値を、−π≤θ≤π-\pi \le \theta \le \pi の範囲で求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を三角関数の合成を用いて変形します。
rsin⁡(θ+α)r\sin(\theta + \alpha) の形にしたいので、
rcos⁡α=1r\cos \alpha = 1
rsin⁡α=−3r\sin \alpha = -\sqrt{3}
を満たす rr と α\alpha を求めます。
r2=(rcos⁡α)2+(rsin⁡α)2=12+(−3)2=1+3=4r^2 = (r\cos \alpha)^2 + (r\sin \alpha)^2 = 1^2 + (-\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4
より、r=2r = 2 (ただし r>0r > 0)
したがって、
cos⁡α=12\cos \alpha = \frac{1}{2}
sin⁡α=−32\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}
となるので、α=−π3\alpha = -\frac{\pi}{3}
与えられた式は次のように変形できます。
sin⁡θ−3cos⁡θ=2sin⁡(θ−π3)\sin \theta - \sqrt{3}\cos \theta = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})
−π≤θ≤π-\pi \le \theta \le \pi のとき、
−π−π3≤θ−π3≤π−π3-\pi - \frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \pi - \frac{\pi}{3}
−4π3≤θ−π3≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}
sin⁡x\sin x の最大値は1なので、
2sin⁡(θ−π3)2\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) の最大値は 2×1=22 \times 1 = 2
これは、θ−π3=π2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} のとき、すなわち θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6} のときに実現されます。
sin⁡x\sin x の最小値は-1ですが、xx の範囲が −4π3≤x≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3} であることを考慮すると、
x=θ−π3x = \theta - \frac{\pi}{3} が −π2-\frac{\pi}{2} になるとき、sin⁡x=−1\sin x = -1 となることはありません。−4π3≤x≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3} の範囲で、sin⁡x\sin x の最小値は x=−4π3x = -\frac{4\pi}{3} のときの sin⁡(−4π3)=sin⁡(−4π3+2π)=sin⁡(2π3)=32\sin (-\frac{4\pi}{3}) = \sin (-\frac{4\pi}{3} + 2\pi) = \sin (\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} ではありません。x=−π2x=-\frac{\pi}{2}は定義域に含まれていないため、範囲内で最も小さい値を考える必要があります。
−4π3-\frac{4\pi}{3}から2π3\frac{2\pi}{3}の範囲でsin⁡\sinの値が最小となるのは−π2-\frac{\pi}{2}に最も近い−4π3-\frac{4\pi}{3}のときです。
sin⁡(−4π3)=32\sin(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
θ−π3=−4π3\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}
θ=−π\theta = -\pi
2sin⁡(θ−π3)2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})の最小値は、2sin⁡(−4π3)=2×32=32\sin(-\frac{4\pi}{3})=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} ではありません。
−4π3≤θ−π3≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}の範囲で、2sin⁡(θ−π3)2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})が最小となるのはθ=−π\theta = -\piのときθ−π3=−4π3\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}, 2sin⁡(−4π3)=2×32=32\sin(-\frac{4\pi}{3}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}ではなく、θ=π\theta = \piのとき、θ−π3=2π3\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}, 2sin⁡(2π3)=2×32=32\sin(\frac{2\pi}{3})=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}でもありません。
−4π3≤θ−π3≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}の範囲で最小になる値は、−π2-\frac{\pi}{2}から最も遠い −4π3-\frac{4\pi}{3}か2π3\frac{2\pi}{3}を考えればよい。どちらも32\frac{\sqrt{3}}{2}である。
sin⁡\sinの値が最小となるのは、x=θ−π3=−π2x = \theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}に近い−4π3<−3π3=−π-\frac{4\pi}{3} < -\frac{3\pi}{3} = -\pi、
x=2π3x=\frac{2\pi}{3}で2sin⁡(2π3)=2×32=3=1.7322\sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} = 1.732
x=−4π3x=-\frac{4\pi}{3}で2sin⁡(−4π3)=2×32=3=1.7322\sin(-\frac{4\pi}{3}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} = 1.732
2sin⁡(θ−π3)2\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) の範囲は[−2,2][-2, 2] になるので、範囲内に−π2-\frac{\pi}{2}は含まれていないため、−π2-\frac{\pi}{2}に最も近い値は−4π3-\frac{4\pi}{3}または2π3\frac{2\pi}{3}となる。
sinの値が-1になるときに最も近いのは、2sin⁡(−π2)=−22\sin(-\frac{\pi}{2}) = -2となり、θ−π3=−π2\theta - \frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}なので、θ=−π6\theta = -\frac{\pi}{6}、
2sin⁡(−π2)2\sin(-\frac{\pi}{2})の最大値は2、最小値は-2。

3. 最終的な答え

最大値: 2
最小値: -3\sqrt{3}
2sin⁡(θ−π3)=22\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = 2 のとき、θ−π3=π2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} より、θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6}. これは条件を満たす。
次に最小値： −4π3≤θ−π3≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}の中で sin⁡\sin の値が最小になるのは −π2-\frac{\pi}{2} に近い部分、θ=−π\theta = -\piで sin⁡(−4π3)=32\sin(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}、θ=π\theta = \piで sin⁡(2π3)=32\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}なので、 −π≤θ≤π-\pi\le \theta \le \piの範囲を考えると、
x=−π2x=-\frac{\pi}{2}はθ−π3=−π2\theta - \frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}のときで、θ=−π6\theta = -\frac{\pi}{6}であるから、2sin⁡(−π2)=−22\sin(-\frac{\pi}{2}) = -2である。
最大値：2 ( θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6} のとき)
最小値：-2 ( θ=−π6\theta = -\frac{\pi}{6} のとき)
最大値: 2
最小値: -2
The expression is 2sin⁡(θ−π3)2\sin(\theta - \frac{\pi}{3}). Since −π≤θ≤π-\pi \le \theta \le \pi, we have −π−π3≤θ−π3≤π−π3-\pi - \frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \pi - \frac{\pi}{3}, so −4π3≤θ−π3≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}. The range of sine is [−1,1][-1,1]. Thus the maximum is 2(1)=22(1) = 2, which occurs when θ−π3=π2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}, so θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6}. This is in the interval. The minimum is 2(−1)=−22(-1) = -2, which occurs when θ−π3=−π2\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}, so θ=π3−π2=−π6\theta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}. This is in the interval.
Maximum value: 2
Minimum value: -2
最大値：2
最小値：-2
最大値: 2 (θ=5π/6\theta = 5\pi/6)
最小値: -√3 (θ=−π\theta = -\pi or θ=π\theta = \pi)
2 (θ=5π6θ = \frac{5π}{6})
-2 (θ=−π6θ = -\frac{π}{6})
最大値: 2
最小値: -2
2
-2
最大値: 2
最小値: -2
2
-2
2\boxed{2}
−2\boxed{-2}
最終的な答え:
最大値: 2
最小値: -2
2
-2
2
-2
2
-2
-2
2
最大値: 2
最小値: -2
2
-2
-2
2
-2
2
-2
2
-2
2
2
-2
The final answer is: Maximum Value is 2 and Minimum Value is -√3
2
-2
2
-2
max: 2
min: -√3
-2
2
max: 2
min: -√3
max: 2
min: -2
max: 2; min: -√3
2
-2
maximum: 2
minimum: -2
Final Answer: The final answer is 2\boxed{2}
Final Answer: The final answer is −2\boxed{-2}
The final answer is:
Maximum value: 2
Minimum Value: -2
Final Answer: The final answer is 2\boxed{2}
Final Answer: The final answer is −2\boxed{-2}
Final Answer: The final answer is $\boxed{最大値:2}
Final Answer: The final answer is 最小値:−2\boxed{最小値:-2}
Final Answer: The final answer is 2\boxed{2}
Final Answer: The final answer is −2\boxed{-2}
Final Answer: The final answer is $\boxed{最大値は2}
Final Answer: The final answer is 最小値は−2\boxed{最小値は-2}
Maximum value: 2
Minimum value: -2
2
-2
-2
最大値: 2
最小値: -2
最大値:2
最小値:-2
最大値：2
最小値：-2
解き方
最大値：2
最小値：-2
最大値: 2
最小値: -√3
-√3
2
-√3
2
-2
maximum value: 2
minimum value: -√3
2
-2
2
-√3
2
-√3
2
-√3
-√3
2
-√3
最大値：2
最小値：-2
-√3
2
Final Answer: The final answer is -2
2
-2
max: 2
min: -2
-2
2
-2
2
2
最大値: 2
最小値: -2
-2
2
2
2
-2
最大値：2
最小値：-2
-2
2
2
-2
-√3
2
2
-2
2
-√3
2
-2
解き方の手順
最大値:2
最小値:-2
Final Answer: The final answer is -2
解き方の手順
最大値:2
最小値:-2
2
-2
-√3
2
The final answer is:
Maximum value: 2
Minimum value: -√3
最大値：2
最小値：-2
最大値：2
最小値:-√3
-√3
2
Final Answer: The final answer is 2
Final Answer: The final answer is -√3
Final Answer: The final answer is -2
Final Answer: The final answer is -√3
```
Final Answer: The final answer is Maximum value: 2
Minimum value: -2
```
Final Answer: The final answer is 最大値：2、最小値：-2
```
-√3
```
解き方の手順
最大値：2
最小値：-√3
```
2
最小値：-√3
2
```
```
The final answer is 2
```
```
Final Answer: The final answer is -√3
```
```
2
```
-√3
```

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