$0 \le x < 2\pi$ の範囲において、方程式 $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲において、方程式 $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、左辺を三角関数の合成を用いて変形する。

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = R \sin(x+\alpha)$ の形にする。

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって $\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) = 1$

$\sin(x+\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ より

$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

よって

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$

$x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

ここで、$0 \le x < 2\pi$ の範囲であるので、

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$

したがって、解は

$x = \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$