$\int \frac{dx}{x^3+1}$ を求めよ。被積分関数は $\frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$ ($A, B, C$ は定数) と分解できる。

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{x^3+1}$ を求めよ。被積分関数は $\frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$ ($A, B, C$ は定数) と分解できる。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + 1$ を因数分解します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

次に、与えられた分数式を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ を掛けると、

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 1$

これらの式を解きます。

$B = -A$

$-A - A + C = 0 \implies C = 2A$

$A + 2A = 1 \implies 3A = 1 \implies A = \frac{1}{3}$

したがって、$B = -\frac{1}{3}$、$C = \frac{2}{3}$

$\int \frac{dx}{x^3+1} = \int \frac{1/3}{x+1} + \frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x+2}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| + \frac{1}{3} \int \frac{-\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{3}{2}}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x-1/2}{\sqrt{3}/2}) + C$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln(x^2-x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C$