$0 < x < \pi$ のとき、不等式 $\sin^4 x + 2 \sin x \cos x - \cos^4 x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < x < \pi$ のとき、不等式 $\sin^4 x + 2 \sin x \cos x - \cos^4 x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$\sin^4 x - \cos^4 x + 2 \sin x \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^2 x - \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ なので、

$\sin^2 x - \cos^2 x + 2 \sin x \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-(\cos^2 x - \sin^2 x) + 2 \sin x \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\cos 2x + \sin 2x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 2x - \cos 2x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

左辺を合成します。

$\sqrt{2} \sin (2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{2}$

ここで、$0 < x < \pi$ より、

$0 < 2x < 2\pi$

$-\frac{\pi}{4} < 2x - \frac{\pi}{4} < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

$2x - \frac{\pi}{4} = \theta$ とおくと、 $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4}$ であり、$\sin \theta > \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$

$\theta$ を元に戻すと、

$\frac{\pi}{6} < 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} < 2x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{2\pi + 3\pi}{12} < 2x < \frac{10\pi + 3\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12} < 2x < \frac{13\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{24} < x < \frac{13\pi}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{24}\pi < x < \frac{13}{24}\pi$