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問題1: 関数 $f(\theta) = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$ の $-\pi \le \theta \le \pi$ における最大値と最小値を求めよ。 問題2: 不等式 $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta > 0$ を $-\pi \le \theta \le \pi$ の範囲で解け。

解析学三角関数最大値最小値不等式三角関数の合成
2025/8/4

1. 問題の内容

問題1: 関数 f(θ)=sin⁡θ−3cos⁡θf(\theta) = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta の −π≤θ≤π-\pi \le \theta \le \pi における最大値と最小値を求めよ。
問題2: 不等式 sin⁡θ−3cos⁡θ>0\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta > 0 を −π≤θ≤π-\pi \le \theta \le \pi の範囲で解け。

2. 解き方の手順

**問題1**
(1) 合成関数の形に変形する。
f(θ)=sin⁡θ−3cos⁡θ=2(12sin⁡θ−32cos⁡θ)=2(sin⁡θcos⁡π3−cos⁡θsin⁡π3)=2sin⁡(θ−π3)f(\theta) = \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2(\frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta) = 2(\sin \theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{3}) = 2 \sin (\theta - \frac{\pi}{3})
(2) −π≤θ≤π-\pi \le \theta \le \pi であるから、−π−π3≤θ−π3≤π−π3-\pi - \frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \pi - \frac{\pi}{3}。つまり、−4π3≤θ−π3≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}
(3) sin⁡(θ−π3)\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) の範囲を考える。
−4π3≤θ−π3≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3} において、
−1≤sin⁡(θ−π3)≤1-1 \le \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) \le 1
θ−π3=π2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} のとき最大値1 を取り、2sin⁡(θ−π3)=22 \sin (\theta - \frac{\pi}{3}) = 2。
θ−π3=−π2\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2}のとき最小値-1 を取り、2sin⁡(θ−π3)=−22 \sin (\theta - \frac{\pi}{3}) = -2。
(4) θ\theta の値を求める。
θ−π3=π2  ⟹  θ=π2+π3=5π6\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}
θ−π3=−π2  ⟹  θ=−π2+π3=−π6\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} \implies \theta = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}
**問題2**
(1) 問題1と同様に合成関数の形に変形する。
sin⁡θ−3cos⁡θ=2sin⁡(θ−π3)\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2 \sin(\theta - \frac{\pi}{3})
(2) 不等式を書き換える。
2sin⁡(θ−π3)>0  ⟹  sin⁡(θ−π3)>02 \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) > 0 \implies \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) > 0
(3) −4π3≤θ−π3≤2π3-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3} の範囲で sin⁡(θ−π3)>0\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) > 0 となる θ−π3\theta - \frac{\pi}{3} の範囲を求める。
0<θ−π3<π0 < \theta - \frac{\pi}{3} < \pi
または
−2π<θ−π3<−π-2\pi < \theta - \frac{\pi}{3} < -\pi
(4) θ\theta の範囲を求める。
π3<θ<4π3\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{4\pi}{3}
−5π3<θ<−2π3-\frac{5\pi}{3} < \theta < -\frac{2\pi}{3}
−π≤θ≤π-\pi \le \theta \le \pi の範囲で考えると、
π3<θ≤π\frac{\pi}{3} < \theta \le \pi
−π≤θ<−2π3-\pi \le \theta < -\frac{2\pi}{3}

3. 最終的な答え

問題1:
最大値: 2 (θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6} のとき)
最小値: -2 (θ=−π6\theta = -\frac{\pi}{6} のとき)
問題2:
−π≤θ<−2π3-\pi \le \theta < -\frac{2\pi}{3}, π3<θ≤π\frac{\pi}{3} < \theta \le \pi

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