問題は2つあります。 問題1は、$f(\theta) = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値と最小値を $-\pi \le \theta \le \pi$ の範囲で求める問題です。 問題2は、不等式 $\cos 2\theta > \sin \theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題1は、$f(\theta) = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値と最小値を $-\pi \le \theta \le \pi$ の範囲で求める問題です。

問題2は、不等式 $\cos 2\theta > \sin \theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

問題1：

まず、$f(\theta) = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ を合成します。

$f(\theta) = 2(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) = 2(\cos(\frac{\pi}{3})\sin\theta - \sin(\frac{\pi}{3})\cos\theta) = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

$-\pi \le \theta \le \pi$ なので、$-\pi - \frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \pi - \frac{\pi}{3}$となり、 $-\frac{4\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$ です。

$g(\theta) = \theta - \frac{\pi}{3}$ と置くと、$2\sin(g(\theta))$ の最大値は $g(\theta) = \frac{\pi}{2}$ のときで、値は$2\sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ となります。

$2\sin(g(\theta))$ の最小値は $g(\theta) = -\frac{\pi}{2}$ のときで、値は$2\sin(-\frac{\pi}{2}) = -2$ となります。

問題2：

$\cos 2\theta > \sin \theta$ を解きます。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ より、 $1 - 2\sin^2\theta > \sin\theta$ となります。

$2\sin^2\theta + \sin\theta - 1 < 0$

$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 1) < 0$

$-1 \le \sin\theta \le 1$ より、$\sin\theta + 1 \ge 0$ であるので、$\sin\theta \neq -1$ という条件のもとで$2\sin\theta - 1 < 0$ ならば不等式が成り立ちます。

$\sin\theta < \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で $\sin\theta < \frac{1}{2}$ となるのは、$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ および $\frac{5\pi}{6} < \theta \le 2\pi$ のときです。$\sin\theta = -1$ となるのは$\theta = \frac{3\pi}{2}$のときですが、$\frac{5\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} < 2\pi$なので$\theta = \frac{3\pi}{2}$を除外する必要はありません。

3. 最終的な答え

問題1：

最大値：2

最小値：-2

問題2：

$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} < \theta \le 2\pi$