$0 < x < \pi$ のとき、不等式 $\sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ の解を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < x < \pi$ のとき、不等式 $\sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、左辺を三角関数の合成を用いて整理します。

$\sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) + 2\sin x \cos x$

ここで、左辺を倍角の公式を用いて整理します。

$(\sin^2 x - \cos^2 x) + 2 \sin x \cos x = -\cos(2x) + \sin(2x)$

したがって、不等式は

$\sin(2x) - \cos(2x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

左辺を合成すると、

$\sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

両辺を $\sqrt{2}$ で割ると、

$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{2}$

ここで、$t = 2x - \frac{\pi}{4}$ とおくと、$0 < x < \pi$ より、

$-\frac{\pi}{4} < 2x - \frac{\pi}{4} < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

つまり、 $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{7\pi}{4}$

この範囲で $\sin t > \frac{1}{2}$ を満たす $t$ を求めます。

$\frac{\pi}{6} < t < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{13\pi}{6}$ は範囲外なので、無視します。

よって、

$\frac{\pi}{6} < 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{6}$

各辺に $\frac{\pi}{4}$ を加えると、

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} < 2x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{2\pi + 3\pi}{12} < 2x < \frac{10\pi + 3\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12} < 2x < \frac{13\pi}{12}$

各辺を2で割ると、

$\frac{5\pi}{24} < x < \frac{13\pi}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{24}\pi < x < \frac{13}{24}\pi$