曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ の $0 \le x \le \log 3$ の部分の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ の $0 \le x \le \log 3$ の部分の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、以下の式で計算できます。

$L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{e^x + e^{-x}}{2}) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2 = 1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4 + e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2$

したがって、

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{(\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

求める曲線の長さは、

$L = \int_0^{\log 3} \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = [\frac{e^x - e^{-x}}{2}]_0^{\log 3} = \frac{e^{\log 3} - e^{-\log 3}}{2} - \frac{e^0 - e^0}{2} = \frac{3 - \frac{1}{3}}{2} - 0 = \frac{\frac{9-1}{3}}{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$