$0 < x < \pi$ のとき、不等式 $\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < x < \pi$ のとき、不等式 $\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - \cos^2 x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin^2 x - \cos^2 x + 2 \sin x \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\cos 2x + \sin 2x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 2x - \cos 2x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

左辺を合成します。

$\sqrt{2} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) > \frac{1}{2}$

ここで、$2x - \frac{\pi}{4} = \theta$ とおくと、$\sin \theta > \frac{1}{2}$ となります。

$0 < x < \pi$ より、$0 < 2x < 2\pi$ なので、$-\frac{\pi}{4} < 2x - \frac{\pi}{4} < 2\pi - \frac{\pi}{4}$、つまり $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4}$ です。

$\sin \theta > \frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ です。

よって、$\frac{\pi}{6} < 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{6}$ となります。

各辺に $\frac{\pi}{4}$ を加えると、

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} < 2x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{2\pi + 3\pi}{12} < 2x < \frac{10\pi + 3\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12} < 2x < \frac{13\pi}{12}$

各辺を 2 で割ると、

$\frac{5\pi}{24} < x < \frac{13\pi}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{24}\pi < x < \frac{13}{24}\pi$