放物線 $y = -x^2 + 4x$ (1)の接線のうち、点(0, 9)を通るものが2本ある。それらの接線の方程式を(2)、(3)とし、(1)、(2)、(3)で囲まれた部分の面積を求める問題。ただし、(2)の傾きは(3)の傾きより大きい。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 4x$ (1)の接線のうち、点(0, 9)を通るものが2本ある。それらの接線の方程式を(2)、(3)とし、(1)、(2)、(3)で囲まれた部分の面積を求める問題。ただし、(2)の傾きは(3)の傾きより大きい。

2. 解き方の手順

まず、放物線(1)上の点$(t, -t^2 + 4t)$における接線を求める。

$y = -x^2 + 4x$を微分すると、

$y' = -2x + 4$

点$(t, -t^2 + 4t)$における接線の方程式は、

$y - (-t^2 + 4t) = (-2t + 4)(x - t)$

$y = (-2t + 4)x - t^2 + 4t + t^2$

$y = (-2t + 4)x + t^2$

この接線が点(0, 9)を通るので、

$9 = (-2t + 4)(0) + t^2$

$t^2 = 9$

$t = \pm 3$

$t = 3$のとき、接線の方程式は

$y = (-2(3) + 4)x + 9$

$y = -2x + 9$

$t = -3$のとき、接線の方程式は

$y = (-2(-3) + 4)x + 9$

$y = 10x + 9$

したがって、(2)は$y = 10x + 9$、(3)は$y = -2x + 9$となる。

次に、放物線(1)と接線(2)の交点を求める。

$-x^2 + 4x = 10x + 9$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x + 3)^2 = 0$

$x = -3$

交点の座標は$(-3, -21)$

次に、放物線(1)と接線(3)の交点を求める。

$-x^2 + 4x = -2x + 9$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

交点の座標は$(3, 3)$

求める面積は、$\int_{-3}^{3} (-x^2 + 4x - (1/2)(10x - (-2x)) -9)dx = \int_{-3}^{3} (-x^2 - 6x)dx$.

ただし、放物線と2接線で囲まれる面積は、積分区間を[-3, 3]として、放物線から2接線の平均を引いて積分する、という考え方で計算してみた。

上記の積分は、

$[-\frac{1}{3}x^3 -3x^2]_{-3}^{3} = (-\frac{1}{3}(3)^3 -3(3)^2) - (-\frac{1}{3}(-3)^3 -3(-3)^2) = (-9 - 27) - (9 - 27) = -36 - (-18) = -18$

面積なので、絶対値をとって18とした。

放物線(1)と接線(2)(3)で囲まれた部分の面積は、$S = \int_{-3}^0 (-x^2 + 4x - (10x + 9)) dx + \int_0^3 (-x^2 + 4x - (-2x + 9)) dx$

$S = \int_{-3}^0 (-x^2 - 6x - 9) dx + \int_0^3 (-x^2 + 6x - 9) dx$

$S = [-\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 - 9x]_{-3}^0 + [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 9x]_0^3$

$S = (0) - (-\frac{1}{3}(-27) - 3(9) - 9(-3)) + (-\frac{1}{3}(27) + 3(9) - 9(3)) - (0)$

$S = -(9 - 27 + 27) + (-9 + 27 - 27) = -9 - 9 = -18$

面積なので、絶対値をとると18となる。

3. 最終的な答え

アイ: 10

ウ: 9

エオ: -2

カ: 9

キク: 18