与えられた関数 $y = -x^2(x^2 - 6)$ のグラフの概形を描く。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -x^2(x^2 - 6)$ のグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 関数を展開する：

$y = -x^4 + 6x^2$

(2) 偶関数であることを確認する：

$y(-x) = -(-x)^4 + 6(-x)^2 = -x^4 + 6x^2 = y(x)$

したがって、この関数はy軸に関して対称である。

(3) x軸との交点を求める：

$y = 0$ となる $x$ を見つける。

$-x^2(x^2 - 6) = 0$

$x^2 = 0$ または $x^2 - 6 = 0$

$x = 0$ (重根) または $x = \pm\sqrt{6}$

(4) y軸との交点を求める：

$x = 0$ のとき、$y = 0$。

(5) 導関数を計算する：

$y' = -4x^3 + 12x$

(6) 極値を求める：

$y' = 0$ となる $x$ を見つける。

$-4x^3 + 12x = 0$

$-4x(x^2 - 3) = 0$

$x = 0$ または $x = \pm\sqrt{3}$

(7) 増減表を作成する。

| x | -∞ | ... | -√3 | ... | 0 | ... | √3 | ... | +∞ |

|---------|-------|---------|---------|---------|---------|---------|---------|---------|-------|

| y' | + | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - | - |

| y | -∞ | ↑ | 最大値 | ↓ | 0 | ↑ | 最大値 | ↓ | -∞ |

$x = \pm\sqrt{3}$ のとき、

$y = -(\pm\sqrt{3})^4 + 6(\pm\sqrt{3})^2 = -9 + 6(3) = -9 + 18 = 9$

したがって、$(\sqrt{3}, 9)$ と $(-\sqrt{3}, 9)$ は極大値。

$x = 0$ のとき、$y = 0$

したがって、$(0, 0)$ は極小値。

3. 最終的な答え

グラフは、y軸に関して対称で、$x=0$ で$x$軸に接し、$x=\pm \sqrt{6}$ で$x$軸と交わる。極大値は$(\pm\sqrt{3}, 9)$、極小値は$(0, 0)$。グラフは$-\infty < x < -\sqrt{3}$と$0 < x < \sqrt{3}$ で増加し、$-\sqrt{3} < x < 0$と$\sqrt{3} < x < \infty$ で減少する。