$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x}$ の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x}$ の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を繰り返し適用します。

まず、$x \to 0$ のとき、$x^3 \to 0$ かつ $\sin x - x \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

したがって、ロピタルの定理を適用できます。

1回目のロピタルの定理の適用：

$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$

$x \to 0$ のとき、$3x^2 \to 0$ かつ $\cos x - 1 \to 0$ なので、再び$\frac{0}{0}$ の不定形です。

したがって、もう一度ロピタルの定理を適用できます。

2回目のロピタルの定理の適用：

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x}$

$x \to 0$ のとき、$6x \to 0$ かつ $-\sin x \to 0$ なので、再び$\frac{0}{0}$ の不定形です。

したがって、もう一度ロピタルの定理を適用できます。

3回目のロピタルの定理の適用：

$\lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{-\cos x}$

$x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{6}{-\cos x} = \frac{6}{-1} = -6$

3. 最終的な答え

-6