以下の5つの関数の導関数を計算する問題です。 (1) $(\frac{x^{12}}{3 \cdot x^3})'$ (2) $(\{\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5\}^6)'$ (3) $(8e^{\frac{1}{4}x})'$ (4) $(8e^{\frac{1}{4}x^2})'$ (5) $(\log(x^5 + 2))'$

1. 問題の内容

以下の5つの関数の導関数を計算する問題です。

(1) $(\frac{x^{12}}{3 \cdot x^3})'$

(2) $(\{\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5\}^6)'$

(3) $(8e^{\frac{1}{4}x})'$

(4) $(8e^{\frac{1}{4}x^2})'$

(5) $(\log(x^5 + 2))'$

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数を整理します。

$\frac{x^{12}}{3x^3} = \frac{1}{3} x^{12-3} = \frac{1}{3}x^9$

次に、導関数を計算します。

$(\frac{1}{3}x^9)' = \frac{1}{3} \cdot 9 x^{9-1} = 3x^8$

(2)

合成関数の微分を使います。

$(\{\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5\}^6)' = 6 (\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^5 \cdot (\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)'$

$(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)' = x + \frac{1}{3}$

したがって、

$6 (\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^5 \cdot (x + \frac{1}{3}) = 6(x+\frac{1}{3})(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^5 = 2(3x+1)(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^5$

(3)

指数関数の微分を使います。

$(8e^{\frac{1}{4}x})' = 8 (e^{\frac{1}{4}x})' = 8 \cdot e^{\frac{1}{4}x} \cdot (\frac{1}{4}x)' = 8e^{\frac{1}{4}x} \cdot \frac{1}{4} = 2e^{\frac{1}{4}x}$

(4)

合成関数の微分を使います。

$(8e^{\frac{1}{4}x^2})' = 8 \cdot (e^{\frac{1}{4}x^2})' = 8 \cdot e^{\frac{1}{4}x^2} \cdot (\frac{1}{4}x^2)' = 8e^{\frac{1}{4}x^2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2x = 4xe^{\frac{1}{4}x^2}$

(5)

対数関数の微分を使います。

$(\log(x^5 + 2))' = \frac{1}{x^5+2} \cdot (x^5 + 2)' = \frac{1}{x^5+2} \cdot 5x^4 = \frac{5x^4}{x^5+2}$

3. 最終的な答え

(1) $3x^8$

(2) $2(3x+1)(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^5$

(3) $2e^{\frac{1}{4}x}$

(4) $4xe^{\frac{1}{4}x^2}$

(5) $\frac{5x^4}{x^5+2}$