与えられた5つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。具体的には、以下の関数について導関数を求めます。 (1) $(\frac{x^{12}}{3x^3})'$ (2) $(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^6{}'$ (3) $(8e^{\frac{1}{4}x})'$ (4) $(8e^{\frac{1}{2}x^2})'$ (5) $(\log(x^5+2))'$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた5つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。具体的には、以下の関数について導関数を求めます。

(1) $(\frac{x^{12}}{3x^3})'$

(2) $(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^6{}'$

(3) $(8e^{\frac{1}{4}x})'$

(4) $(8e^{\frac{1}{2}x^2})'$

(5) $(\log(x^5+2))'$

2. 解き方の手順

(1) $(\frac{x^{12}}{3x^3})'$

まず、関数を簡略化します。

$\frac{x^{12}}{3x^3} = \frac{1}{3}x^{12-3} = \frac{1}{3}x^9$

次に、導関数を計算します。

$(\frac{1}{3}x^9)' = \frac{1}{3} \cdot 9x^{9-1} = 3x^8$

(2) $(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^6{}'$

合成関数の微分を行います。$u = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5$とすると、$y = u^6$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 6u^5$

$\frac{du}{dx} = x + \frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 6(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^5 (x + \frac{1}{3})$

(3) $(8e^{\frac{1}{4}x})'$

指数関数の微分を行います。

$(8e^{\frac{1}{4}x})' = 8 \cdot e^{\frac{1}{4}x} \cdot \frac{1}{4} = 2e^{\frac{1}{4}x}$

(4) $(8e^{\frac{1}{2}x^2})'$

これも指数関数の微分を行います。

$(8e^{\frac{1}{2}x^2})' = 8 \cdot e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot (\frac{1}{2}x^2)' = 8 \cdot e^{\frac{1}{2}x^2} \cdot x = 8xe^{\frac{1}{2}x^2}$

(5) $(\log(x^5+2))'$

対数関数の微分を行います。

$(\log(x^5+2))' = \frac{1}{x^5+2} \cdot (x^5+2)' = \frac{1}{x^5+2} \cdot 5x^4 = \frac{5x^4}{x^5+2}$

3. 最終的な答え

(1) $3x^8$

(2) $6(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + 5)^5 (x + \frac{1}{3})$

(3) $2e^{\frac{1}{4}x}$

(4) $8xe^{\frac{1}{2}x^2}$

(5) $\frac{5x^4}{x^5+2}$